|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
22-11-2016, 06:30 AM | #1 |
Super Moderator | Tích chập Cho $J \in C_c^\infty \left( {\mathbb{R},\mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $J$ là hàm chẵn và $\int_{ - \infty }^\infty {J\left( x \right)dx} = 1$. Đật ${J_\varepsilon }\left( x \right) = \frac{1}{\varepsilon }J\left( {\frac{x}{\varepsilon }} \right)$ khi đó với mọi $g \in {C^\infty }\left( {\mathbb{R},\mathbb{R}} \right)$ ta đều có \[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{{{J_\varepsilon }*g}}{{{\varepsilon ^2}}} - g\left( x \right) = C{g^{\prime \prime }}\left( x \right)\] __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
24-11-2016, 02:33 AM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
\[ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{J_ \epsilon \ast g(x) -g(x)}{\epsilon^2} = C g''(x). \] Chứng minh đơn giản như sau: giả sử support của hàm $J$ bị chứa trong hình cầu $B_a = \{|x|\leq a\}$. Do đó \[ J_\epsilon \ast g(x) = \int_{B_a} J(z) g(x-\epsilon z) dz. \] Đặt $M(x) = \max\{|g'''(z)|\, :\, |z-x| \leq a\}$, sử dụng khai triển Taylor cho hàm $g$ và $\epsilon \leq 1$ ta có \[ |g(x-\epsilon z) -g(x) +g'(x)\epsilon z - \frac{\epsilon^2 z^2}2 g''(x)| \leq \frac{\epsilon^3 M(x) |z|^3}6. \] Đặt $C = \frac 12 \int_{-\infty}^{\infty} J(z) z^2 dz$, do $J$ là hàm chẵn nên $\int_{-\infty}^{\infty} J(z) z dz =0$, khi đó ta có \[ |J_\epsilon \ast g(x) -g(x) -C \epsilon^2 g''(x)| \leq \frac{\epsilon^3 M(x)}6 \int_{-\infty}^{\infty} J(z) |z|^3 dz. \] Từ đây suy ra dpcm. | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|