Topic về bất đẳng thức

[353535]

1) Cho $a \ge 4;b \ge 5 ; c \ge 6 $ và $a^2+b^2+c^2=90 $.tìm MIN của: a+b+c
2) Cho 3 số dương a,b,c có a+b+c=1.Tìm MAX của:
$A=ab+ac+bc+ \frac{5}{2}[(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanh.kid]

Cho x,y,z>0,xyz=1
c/m
$18( \frac{1}{x^3 +1}+\frac{1}{y^3 +1}+\frac{1}{z^3 +1}) \le (x+y+z)^3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

điều kiện giữa x, y, z là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanh.kid]

à em quên xyz=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Messi_ndt]

Cho x,y,z>0,xyz=1
c/m
$18( \frac{1}{x^3 +1}+\frac{1}{y^3 +1}+\frac{1}{z^3 +1}) \le (x+y+z)^3 $

Thay 1 bởi abc trên tử của vế trái để BDT thuân nhất. Đặt bút phấn tích tổng các bình phương thì có ngay $S_a,S_b,S_c >0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thanh vien]

Cho x,y,z>0,xyz=1
c/m
$18( \frac{1}{x^3 +1}+\frac{1}{y^3 +1}+\frac{1}{z^3 +1}) \le (x+y+z)^3 $

Ta có Vế trái:
$\\\le9\left(\frac1{x\sqrt x}+\frac1{y\sqrt y}+\frac1{z\sqrt z}\right)\\=9\left[(\sqrt{yz})^3+(\sqrt{zx})^3+(\sqrt{xy})^3\right] $

Cần chứng minh $9\left[(\sqrt{yz})^3+(\sqrt{zx})^3+(\sqrt{xy})^3\right]\le(x+y+z)^3 $. Đặt căn cho mất căn đi thì thành:
$(a^2+b^2+c^2)^3\ge9(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) $
Cái này S.O.S ra chắc đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[h.vuong_pdl]

Chú ý: cần Cm:
$\frac{(a+b+c)^3}{abc} \ge 18(\sum{\frac{bc}{a^2+bc}}) $
hay $\frac{(a+b+c)^3}{abc} + 18(\sum{\frac{a^2}{a^2+bc}}) \ge 54 $
Lại chú ý theo BDT Cauchy-Schwarz:
$\sum{\frac{a^2}{a^2+bc}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} $
Áp dụng Côsi ta có: $\frac{(a+b+c)^3}{abc} + 18.\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \ge 2\sqrt{\frac{18(a+b+c)^5}{abc(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca )}} $
Lại chú ý BDt quen thuộc: $27abc(a^2+b^2+c^2) \le (a+b+c)^5 $ và $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2 $
Vậy ta có ngay đpcm ??????????????????/
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungthptpb]

Cho x+y+z=6 và x, y, z>0. CMR $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1} $

học gõ Latex tại đây: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinomoriaoshi]

Bài này thì theo mình là đặt $a=2^x; b=2^y; c=2^z $ rồi dùng điểm rơi Côsi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Cho x+y+z=6 và x, y, z>0. CMR $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1} $

Bài này hình như trước đây có trong cuốn "Bộ đề tuyển sinh" của Bộ GD-ĐT, cũng từng được dùng làm đề thi ở nhiều nơi rồi. Một bài rất quen thuộc!
Như ý giải của bạn shinomoriaoshi ở trên, mình tiếp 1 chút như sau:
Sau khi đặt như thế thì điều kiện đã cho viết lại là:
$a,b,c>0, 2^{x+y+z}=64\Leftrightarrow abc=64 $.
Cần chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3 \ge 4(a^2+b^2+c^2) $.
Ta có:
$a^3+a^3+64 \ge 3.\sqrt[3]{64a^6}=12a^2\Leftrightarrow a^3+32 \ge 6a^2 $.
Tương tự cho các đánh giá với b, c. Cộng lại theo từng vế, ta được:
$a^3+b^3+c^3+96 \ge 6(a^2+b^2+c^2) $.
Hơn nữa:
$2(a^2+b^2+c^2)\ge 6.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6.\sqrt[3]{64^2}=96 $.
Tiếp tục cộng hai BĐT này lại, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=4 $ hay $x=y=z=2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caovannct]

Bài này cũng có cách giải nhanh như sau:
Đặt: $a = 2^x ,b = 2^y ,c = 2^z $ với $xyz=64 $.
Khi đó ta cần chứng minh:
$\frac{{a^3 + b^3 + c^3 }}{{a^2 + b^2 + c^2 }} \ge 4 $
Thật vậy áp dụng kết quả:
$\frac{{x^2 }}{a} + \frac{{y^2 }}{b} + \frac{{z^2 }}{c} \ge \frac{{(x + y + z)^2 }}{{a + b + c}} $ ta có:
$\frac{{a^4 }}{{a(a^2 + b^2 + c^2 )}} + \frac{{b^4 }}{{b(a^2 + b^2 + c^2 )}} + \frac{{c^4 }}{{c(a^2 + b^2 + c^2 )}} \ge \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}(a + b + c) \ge \sqrt[3]{{abc}} = 4 $
Dấu '=" xảy ra khi $a=b=c=a $ hay $x=y=z=2. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truytimmattroi]

Mình có bài này muốn nhờ các bạn giúp đỡ:
Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi n nguyên dương ta có:
{n$\sqrt{3} $}$\ge $$\frac{k}{n\sqrt{3}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NHTRANG]

Ta có bđt <=> n$\sqrt{3} $ - $\frac{k}{n\sqrt{3}} $
$\ge $[n$\sqrt{3} $]
<=>3$n^2 $+$\frac{k^2}{3n^2} $ - 2k $\ge $${[n\sqrt{3}]}^2 $
Thấy với mọi n thì 3$n^2 $ và 3$n^2 $-1 đều không là số cp. Nhưng tồn tại vô số n để 3$n^2 $-2 là scp. Do đó nếu k>1 thì tồn tại n đủ lớn để 3$n^2 $+$\frac{k^2}{3n^2} $ - 2k<3$n^2 $-2 =${[n\sqrt{3}]}^2 $
Vạy k$\le $1.Dễ thấy k=1 luôn t/m =>k=1 là gtrị cần tìm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

$3 n^2-2 ={[n\sqrt{3}]}^2 $

lời giải sai ở chỗ này, vd cho n=14 thì $3n^2-2=586; {[n\sqrt{3}]}^2=24^2=576 $
đáp số đúng hình như là $\sqrt3(\sqrt3-1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NHTRANG]

lời giải sai ở chỗ này, vd cho n=14 thì $3n^2-2=586; {[n\sqrt{3}]}^2=24^2=576 $
đáp số đúng hình như là $\sqrt3(\sqrt3-1) $

Xét dãy ($x_0;y_0 $)=(1,1); ($x_{k+1};y_{k+1} $)=$2x_k +3y_k ; x_k+2y_k $
Dãy tren tăng vô hạn và mọi số hạng của dãy đều t/m3$y^2 $-2=$x^2 $ (=> x=[y$\sqrt{3} $]
Do đó có thể nói tồn tại n đủ lớn để 3$n^2 $-2 là số chính phuơng và2k>2+$\frac{k^2}{3n^2} $. Giá trị đó của n sễ không t/m bài toán.
Do vậy khi k>1(bao gồm cả$\sqrt3(\sqrt3-1) $) sẽ không được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]