|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-03-2011, 05:54 AM | #1 |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Topic bất đẳng thức Cauchy_Schwarz Chào các bạn. Mình lập topic ứng dụng bất đẳng thức Cauchy_Schwarz để chúng ta thảo luận có trọng tâm nhằm chia sẻ, học hỏi cách chứng minh các bài bất đẳng thức có sử dụng bdt Cauchy_Schwarz . Chính vì vậy trong topic này mong các bạn chỉ post lời giải sử dụng bất đẳng thức CauChy_schwarz. Xin được bắt đầu bằng ba bài toán sau: Bài 1: Cho ba số thức dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c ^2+a^2+1}\geq 1 $.Chứng minh rằng: $ab+bc+ca \leq 3 $ Bài2: Cho ba số thức dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3 $.Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c +2a^2}\geq 1 $ Bài 3:Cho ba số thức dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca>0 $.Chứng minh rằng: $\frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{2b^2-ca}{c^2-ca+a^2}++\frac{2c^2-ab}{a^2-ab+b^2}\geq 3 $ |
The Following 13 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post: | Ino_chan (28-03-2011), je.triste (11-03-2011), lexuanthang (16-04-2011), Lil.Tee (01-04-2011), nguyenvanphung (24-06-2011), nhat7d (03-05-2011), nhox12764 (10-03-2011), Raul Chavez (08-04-2014), snowangel_15 (18-07-2012), TNP (01-09-2012), Unknowing (15-03-2011), xtungftu (21-08-2011), Yucio.3bi_love (14-07-2011) |
10-03-2011, 10:22 PM | #2 |
+Thành Viên+ | Bài 2: VT $\begin{array}{l} \Leftrightarrow a - \frac{{2a{b^2}}}{{a + 2{b^2}}} + b - \frac{{2b{c^2}}}{{b + 2{c^2}}} + c - \frac{{2c{a^2}}}{{c + 2{a^2}}} \ge 3 - \sum {\frac{{2a{b^2}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^4}}}}}} = 3 - \frac{2}{3}\sum {\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}} \\ ab + ab + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}};\frac{{{a^2} + {b^2} + 1}}{2} \ge \frac{3}{2}\sqrt[2]{{{a^2}{b^2}}} \\ \Rightarrow {(a + b + c)^2} + \frac{9}{2} \ge \frac{9}{2}\sum {\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\sum {\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}} \le 2 \\ \end{array} $ Ta có đfcm __________________ |
10-03-2011, 10:31 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Ninh Thuận thành phố Phan Rang Tháp Chàm. Bài gởi: 117 Thanks: 260 Thanked 30 Times in 21 Posts | Trích:
__________________ . | |
The Following User Says Thank You to long_chau2010 For This Useful Post: | nhat7d (03-05-2011) |
10-03-2011, 10:51 PM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ | Bài2: Cho ba số thức dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3 $.Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c +2a^2}\geq 1 $ cách khác Cauchy_Schwarz BĐT $ \Leftrightarrow\frac{a^4}{a^3+2b^2a^2}+\frac{b^4}{ b^3+2c^2b^2}+\frac{c^4}{c^3+2a^2c^2}\geq 1 $ $\Rightarrow VT\ge \frac{ (a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^ 2)} $ Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $ (a^2+b^2+c^2)^2\ge a^2+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2+c^2+a^2+c^2) $(*) Thật vậy$ (*) \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3 $ dễ dàng chứng minh được điều này với Cosi và giả thuyết $ a+b+c=3 $ Vậ BĐT được chứng minh xong! __________________ Phan Tiến Đạt |
The Following 13 Users Say Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post: | AnhIsGod (01-03-2012), ha linh (07-05-2011), hahahaha4 (07-06-2011), hoangqnvip (22-11-2013), Ino_chan (09-04-2011), je.triste (11-03-2011), Lil.Tee (11-04-2011), mathematician (14-03-2011), Mr_Trang (23-04-2011), nguyenvanphung (23-06-2011), nhat7d (03-05-2011), nhox12764 (11-03-2011), TNP (15-04-2012) |
10-03-2011, 11:08 PM | #6 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
$(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2 $ $\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b^2+1}\leq \frac{2+c^2}{(a+b+c)^2} $ Thực hiện tương tự ta có: $1\leq \frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c ^2+a^2+1}\leq \frac{6+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} $. $\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \leq 6+a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca \leq 3 $ Câu hỏi đặt ra: Tại sao lại lấy $a^2+b^2+1 $ nhân với $1+1+c^2 $ mà không phải biểu thức khác. Trả lời :Bởi vì dựa vào dạng của BDT Cau Chy Schawrz , ta thấy biểu thức đã có $a^2+b^2+1 $ nên ghép thêm ,$1,1,c^2 $ để nhằm xuất hiện $(a+b+c) $. Chú ý: Những bài toán mà mẫu có dạng $a^{2k}+b^{2k}+1 $ chứng ta mong muốn áp dụng C_S đưa về $(a+b+c)^{2k} $ | |
The Following 46 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post: | 9A1 (22-05-2012), aidichoi (24-07-2011), AnhIsGod (01-03-2012), arshavin (12-07-2013), Conan Edogawa (11-03-2011), DoThanhTung_ĐH (29-07-2011), duycvp (12-03-2011), duynhan (11-03-2011), FTU1995 (19-07-2011), ha linh (13-03-2011), hahahaha4 (07-06-2011), hephuongtrinh (17-07-2011), hoang_kkk (25-07-2012), HocKoGioi (11-06-2012), Ino_chan (09-04-2011), iunhiuhonnoi (29-04-2011), je.triste (12-03-2011), kechothanh (10-05-2011), kiffen14 (18-04-2011), ladykillah96 (02-10-2013), letatanu (12-03-2011), lexuanthang (13-05-2011), Lil.Tee (01-04-2011), long_chau2010 (11-03-2011), manh11tlc (18-04-2011), mathematician (14-03-2011), Mathias (11-06-2011), Mệnh Thiên Tử (10-03-2011), mrvui123 (04-09-2012), nct111 (21-05-2011), nguyenvanphung (23-06-2011), nguyenxuanthai (26-03-2011), nhat7d (03-05-2011), nhox12764 (11-03-2011), npanbmath (13-05-2011), proboyhinhvip (15-05-2011), ptk_1411 (17-04-2011), shinichi_kute (07-02-2012), starandsky1995 (01-03-2012), status chip (01-04-2011), thaothunguyen (26-03-2011), tienanh_tx (18-12-2012), tientrung_1309 (06-04-2012), TNP (15-04-2012), Trầm (05-05-2012), Yucio.3bi_love (14-07-2011) |
10-03-2011, 11:29 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts | Bài 4 (Tương tự bài 1): Cho a,b,c dương thỏa mãn $$\frac{1}{{1 + a + b}} + \frac{1}{{1 + b + c}} + \frac{1}{{1 + a + c}} \ge 1$$ Chứng minh rằng: $$a + b + c \ge ab + bc + ca$ $ Bài 5: (Iran 2007). Tìm số C lớn nhất sao cho với mọi a,b,c,d,e không âm thỏa mãn a+b=c+d+e ta đều có $$\sqrt {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 } \ge C\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c + \sqrt d + \sqrt e } \right)^2 $$ |
The Following 8 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post: | daylight (10-03-2011), DoThanhTung_ĐH (29-07-2011), Ino_chan (09-04-2011), je.triste (12-03-2011), Lil.Tee (11-04-2011), manh11tlc (18-04-2011), Mệnh Thiên Tử (10-03-2011), nhat7d (03-05-2011) |
10-03-2011, 11:49 PM | #8 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
Nhìn vào bài toán đã cho. Chúng ta mong muốn đưa mẫu số về cùng $(a+b+c) $ cho dễ đánh giá. Áp dung C_S $(1+a+b)(c^2+a+b)\geq (a+b+c)^2 $ $\Leftrightarrow \frac{1}{1+a+b}\leq \frac{c^2+a+b}{(a+b+c)^2} $. Tương tự cho các biểu thức còn lại. cộng các vế lại , làm tương tự bài 1. Chúng ta có đfcm. Tại sao nghĩ ra như vậy: Bởi vì: Mẫu số đã có:$1 + a + b $, chúng ta cần bổ sung thêm $c^2+a+b $để áp dụng đươc C_S. | |
The Following 10 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post: | AnhIsGod (01-03-2012), duycvp (12-03-2011), je.triste (12-03-2011), Lil.Tee (01-04-2011), manh11tlc (18-04-2011), mathematician (14-03-2011), Mệnh Thiên Tử (10-03-2011), nguyentrai_oly (25-04-2011), nhat7d (03-05-2011), proboyhinhvip (15-05-2011) |
10-03-2011, 11:55 PM | #9 |
+Thành Viên+ | Cho em thắc mắc cái , tại sao ở bài 4 ta lại đưa về a+b+c cho cùng với đpcm , còn ở bài 1 lại không đưa về ab+bc+ca để cùng với đpcm vậy anh ??? , liệu có cách giải nếu đưa về như thế __________________ Thà Chịu Hi SinhCòn Hơn Chịu Chết |
The Following 2 Users Say Thank You to Mệnh Thiên Tử For This Useful Post: | hephuongtrinh (17-07-2011), nhat7d (03-05-2011) |
11-03-2011, 12:02 AM | #10 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
Vấn đề không phải ở chỗ đó em ạ.Mà là khi quan sát BDT mẫu số càng cồng kềnh thì ta càng khó làm. Do đó để đánh giá theo quan điểm của anh thì: Thứ nhất:Giảm bậc: Hoặc thứ hai: Đưa về cùng mẫu số. Để dễ so sánh. | |
The Following 9 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post: | duykhoa (17-03-2011), Ino_chan (09-04-2011), je.triste (12-03-2011), lexuanthang (11-03-2011), Lil.Tee (01-04-2011), long_chau2010 (11-03-2011), Mệnh Thiên Tử (11-03-2011), nhat7d (03-05-2011), vthiep94 (14-03-2011) |
11-03-2011, 04:36 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 36 Thanks: 10 Thanked 6 Times in 5 Posts | Bài 6 Cho a;b;c dương và $a^2+b^2+c^2=1 $ Tìm min của P bằng ít nhất 3 cách $P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2 +b^2} $ đây là bài toán khó ứng dụng của bdt cô-si các bạn hãy giải thử bài này bằng cauchy-schwar thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 07:22 PM Lý do: Đánh số bài 6 |
The Following 2 Users Say Thank You to tiger3323551 For This Useful Post: | nhat7d (03-05-2011), Yucio.3bi_love (14-07-2011) |
11-03-2011, 06:02 PM | #12 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
Để ý vế trái của BDT có dạng phân số, quan sát thấy tổng các mẫu số của Vế trái bằng $2(a^2+b^2+c^2)=2 $. Như vậy nếu dùng C_S sẽ giúp chúng ta khủ bỏ mẫu.Với quan sát bước đầu như vậy, giúp chúng ta có thêm niềm tin sử dụng C_S trong bài toán này. Áp dụng C_S ta có: $P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2 +b^2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2(a^2+b^2+c^ 2)}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2} $ Áp dụng AM_GM , chung ta có: $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\geq 9\sqrt[3]{abc} $ Lại do $1=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}} $. Nên $P\geq \frac{\sqrt{3}}{2} $ | |
The Following 2 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post: | Lil.Tee (01-04-2011), Yucio.3bi_love (14-07-2011) |
11-03-2011, 06:39 PM | #13 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 310 Thanks: 5 Thanked 751 Times in 187 Posts | Trích:
__________________ The love makes us stronger! Võ Quốc Bá Cẩn | |
11-03-2011, 06:46 PM | #14 |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Ừ nhỉ, mình không để ý đúng là ngược dấu. Cauchy_Schawrz là sở trường của Cẩn đấy. Mong Cẩn tích cực tham gia và thảo luận nhiều nhé. |
11-03-2011, 06:47 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 310 Thanks: 5 Thanked 751 Times in 187 Posts | Mời các bạn cùng phân tích bài này, mình vừa thấy trên mathlinks: Bài 7 Cho $a,\;b,\;c $ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \ge 3. $ Chứng minh rằng $(a^2+b^2+abc)(b^2+c^2+abc)(c^2+a^2+abc) \ge 3abc(a+b+c)^2. $ __________________ The love makes us stronger! Võ Quốc Bá Cẩn thay đổi nội dung bởi: batigoal, 12-03-2011 lúc 07:22 PM Lý do: Đánh số bài 7 |
The Following 5 Users Say Thank You to can_hang2008 For This Useful Post: | AnhIsGod (01-03-2012), hoangthuygiang (18-08-2016), nguyenvan (15-05-2011), tienanh_tx (01-09-2012), Yucio.3bi_love (14-07-2011) |
Bookmarks |
|
|