Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Tài Liệu/Documents

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-04-2013, 06:01 PM   #1
lion
+Thành Viên Danh Dự+
 
lion's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 389
Thanks: 67
Thanked 133 Times in 97 Posts
Đề thi OLP SV năm 2013 môn Giải tích

Câu 1. Cho $x_1 = a \in \mathbb{R}$ và dãy $(x_n)$ được xác định bởi $(n+1)^2 x_{n+1} = n^2 x_n + 2n+1$. Tìm $\lim\limits_{x \to \infty} x_n$.

Câu 2. Tìm giới hạn
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} \frac{nx^n}{2013+x^n} dx. $$

Câu 3. Cho $\alpha \ge \beta \ge 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$$
với mọi $ x \in (0,\infty)$.

Câu 4. Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trong $(0,1)$ thỏa mãn $f(0)=0 ; f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2013} \in (0,1)$ sao cho
$$ \sum_{k=1}^{2013} \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{2013 \times 1007}{2}. $$

Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện
$$ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $$
với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$

Câu 6 Thí sinh chọn một trong hai câu:
  1. Cho $(a_n)$ là dãy số dương sao cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ hội tụ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số dương $(b_n)$ sao cho $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \infty$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n < \infty$ cũng hội tụ.
  2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm $g(x)$ đơn điệu thực sự (tức là đơn điệu và $g(x) \ne g(x)$ nếu $x \ne y$) và liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho
    $$ \int_0^1 f(x)g^k(x)\,d(x)=0, \ \ \forall k=0,1,\ldots,2013 $$
    thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 2014 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $(0,1)$.
    Hãy chỉ ra thí dụ nếu bỏ tính đơn điệu của hàm $g(x)$ thì định lý có thể không đúng.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đã trở lại

thay đổi nội dung bởi: novae, 11-04-2013 lúc 08:03 PM
lion is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to lion For This Useful Post:
hieu1411997 (10-04-2013), kynamsp (10-04-2013), LichKing (10-04-2013), magician_14312 (10-04-2013), MathForLife (11-04-2013), portgas_d_ace (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013)
Old 10-04-2013, 08:45 PM   #2
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi lion View Post
Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện
$$ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $$
với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$
Dạng này khá thú vị vì BTC ra lần đầu năm 2004, sau đó năm 2011 ra lại bây giờ lại ra nữa. Tuy nhiên hình như bài này khó hơn do cần dùng bất đẳng thức C-S, lại phải tính tích phân lượng giác. Không hiểu mình tính sai hay sao mà thu được một bất đẳng thức chặt hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-04-2013, 10:02 PM   #3
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Dạng này khá thú vị vì BTC ra lần đầu năm 2004, sau đó năm 2011 ra lại bây giờ lại ra nữa. Tuy nhiên hình như bài này khó hơn do cần dùng bất đẳng thức C-S, lại phải tính tích phân lượng giác. Không hiểu mình tính sai hay sao mà thu được một bất đẳng thức chặt hơn.
Chắc ý Luật là:
Với mỗi $x \in [0,1]$, tồn tại duy nhất $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$ để $sin^4t=x$. Như vậy từ điều kiện bài toán suy ra:
$f(sin^4t)+f(cos^4t) \leq 1$.
Đổi cận $sin^4t=x$, ta thu được:
$A= \int_{0}^{1} \sqrt{f(x)}dx=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{f(sin^4t)}.sin^3t.costdx$.
Rõ ràng $A^2 \leq 16 [\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(sin^4t)dt].[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^6t.cos^2tdx]$
Tương tự với việc đổi cận cho $cost$.
Từ đó cậu kết hợp xử lý tiếp đoạn sau để đưa ra đánh giá của A?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................

thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 10-04-2013 lúc 10:11 PM
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post:
hoangia (11-04-2013), LichKing (11-04-2013), thaygiaocht (11-04-2013)
Old 10-04-2013, 10:36 PM   #4
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 75
Thanks: 39
Thanked 54 Times in 33 Posts
Câu 1: Ta có $(n+1)^2[x_{n+1}-1]=n^2[x_n-1]=\cdots=a-1 \Rightarrow x_n=\dfrac{a-1}{n^2}+1 \Rightarrow \lim x_n=1 $
Câu 2: Sử dụng tích phân từng phần
$\int_0^1\frac{nx^n}{x^n+2013}dx=x\ln(x^n+2013)|_0^ 1-\int_0^1\ln(x^n+2013)dx=\ln 2014-\int_0^1\ln(x^n+2013)dx $
Sử dụng bất đẳng thức cơ bản $\ln(x+1) \le x $ ta có ngay
$0 \le \ln(x^n+2013)-\ln 2013=\ln\left(\frac{x^n}{2013}+1\right) \le \frac{x^n}{2013} $
Từ đánh giá này suy ra $\lim\int_0^1\ln(x^n+2013)dx=\ln 2013 $ suy ra đáp số của bài toán là $\ln\frac{2014}{2013} $
Hai bài này chắc gỡ điểm !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post:
hieu1411997 (11-04-2013), hoangia (11-04-2013), khanhkhtn (11-04-2013), thaygiaocht (11-04-2013)
Old 11-04-2013, 12:18 AM   #5
LichKing
+Thành Viên+
 
LichKing's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 75
Thanks: 39
Thanked 54 Times in 33 Posts
Câu 4: Đặt $c_k=\frac{k(k+1)}{n(n+1)},\ k=1, 2, \cdots, n \Rightarrow c_k-c_{k-1}=\frac{2k}{n(n+1)}>0 $
Ta có $c_0=0=f(0),\ c_n=1=f(1) $ dễ thấy $c_k \in (0, 1),\ \forall\ k=1, 2, 3, \cdots, n-1 $
Sử dụng định lý trung gian dễ thấy tồn tại các số thỏa $0<y_1<y_2<\cdots<y_{n-1}<1 $ và ta có $f(y_k)=c_k,\ k=1, 2, \cdots, n-1 $
Sử dụng định lý Cauchy tồn tại $x_k \in (y_{k-1}, y_k) $
$\frac{y_k^2-y_{k-1}^2}{f(y_k)-f(y_{k-1})}=\frac{2x_k}{f'(x_k)} \Rightarrow \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{n(n+1)}{4}(y_k^2-y_{k-1}^2) $
Lấy tổng vào dễ ràng suy ra
$\sum_{k=1}^n\frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{n(n+1)}{4} $
Đề thi là trường hợp riêng n=2013
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: LichKing, 11-04-2013 lúc 10:10 AM
LichKing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post:
hieu1411997 (11-04-2013), Highschoolmath (11-04-2013), hoangia (11-04-2013), khanhkhtn (11-04-2013), thaygiaocht (11-04-2013)
Old 11-04-2013, 02:51 PM   #6
dungxa22111994
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Đến từ: vinh phuc
Bài gởi: 14
Thanks: 1
Thanked 1 Time in 1 Post
Có ai giải đc bài phương trình hàm ko ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
dungxa22111994 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2013, 06:26 PM   #7
chinhtam
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 27
Thanks: 21
Thanked 17 Times in 10 Posts
Bạn xem nhé!

Trích:
Nguyên văn bởi dungxa22111994 View Post
Có ai giải đc bài phương trình hàm ko ?
Bạn xem ở file đính kèm nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf DAP-AN-OLYMPIC-GT-SV-2013-1.pdf (381.6 KB, 345 lần tải)
chinhtam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-04-2013, 07:55 PM   #8
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi lion View Post
[B]

Câu 3. Cho $\alpha \leq \beta \le 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$$ với mọi $$ x \in \ (0,\infty). $$[/LIST]
Đề ở đây bị sai hèn gì làm mãi không ra, mình hỏi bạn mình thì đề đúng phải là $\alpha \geq \beta > 0$. Ta có thể làm như sau:
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \} \geq x^{\alpha+\beta} - f(x)$$, suy ra $f(x) \geq \frac{1}{2}x^{\alpha+\beta}$ với mọi $x>0$. (1)
Như vậy, điều kiện đã cho trở thành:
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \} \leq \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - \frac{1}{2}y^{\alpha+\beta} : y \ge x \}$$ (*)
Bằng cách khảo sát hàm số đơn giản $f(y)=x^{\alpha}y^{\beta} - \frac{1}{2}y^{\alpha+\beta}$ trên đoạn $[x,+\infty)$, thấy rằng hàm này nghịch biến, cho nên $$\max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - \frac{1}{2}y^{\alpha+\beta} : y \ge x \}=\frac{1}{2}x^{\alpha+\beta}$$.
Do vậy, (*) trở thành: $f(x) \leq \frac{1}{2}x^{\alpha+\beta}$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra hàm cần tìm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post:
huynhcongbang (12-04-2013), LichKing (11-04-2013), magic. (11-04-2013)
Old 12-04-2013, 01:57 PM   #9
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Bài 2 đã có xuất hiện trong cuốn Real Calculus của Titu, mọi người xem thử bài toán tổng quát tại trang 348, bài 9.5.12:

Cho hàm số $g: [0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm liên tục thỏa mãn $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x} $ tồn tại và hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi $f(x): [0;1] \to \mathbb{R}$ thì:
$ \lim_{n \to \infty} n \int_{0}^1 f(x)g(x^n) dx = f(1) \int_0^1 \frac{g(x)}{x}dx$.

https://www.dropbox.com/s/yn0pd8hm4w...culus_TiTu.pdf

Đề giải tích năm nay khó hơn hẳn đề các năm trước, điểm chuẩn xuống khá thấp và khoảng 7-8đ/30 đã có giải ba. Năm nay bạn nguyentram đã được cao điểm nhất Giải tích với 26.5/30đ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
Highschoolmath (13-04-2013), hoangnam94 (12-04-2013), lethuc_92 (13-04-2013), thaygiaocht (12-04-2013)
Old 13-04-2013, 02:18 PM   #10
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Highschoolmath View Post
Chắc ý Luật là:
Với mỗi $x \in [0,1]$, tồn tại duy nhất $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$ để $sin^4t=x$. Như vậy từ điều kiện bài toán suy ra:
$f(sin^4t)+f(cos^4t) \leq 1$.
Đổi cận $sin^4t=x$, ta thu được:
$A= \int_{0}^{1} \sqrt{f(x)}dx=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{f(sin^4t)}.sin^3t.costdx$.
Rõ ràng $A^2 \leq 16 [\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(sin^4t)dt].[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^6t.cos^2tdx]$
Tương tự với việc đổi cận cho $cost$.
Từ đó cậu kết hợp xử lý tiếp đoạn sau để đưa ra đánh giá của A?
Không, sau khi đến đoạn
$A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\sin ^4t)}\sin ^3t\cos tdt $
mình đổi biến để được
$A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\cos ^4t)}\cos ^3t\sin tdt $
Đến đây, áp dụng C-S cho 2 cặp số ta được (không áp dụng C-S dạng tích phân do $\sin t $ và $\cos t $ ở 2 tích phân không đối xứng nên khó chọn hàm cho đẳng thức xảy ra)
$2A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\sin ^4t)}\sin ^3t\cos tdt+4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\cos ^4t)}\cos ^3t\sin tdt $
$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t(\sin ^2t\sqrt{f(\sin ^4t)}+\cos ^2t\sqrt{f(\cos ^4t)}) $
$\le 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t.\sqrt{\sin ^4t+\cos ^4t}=1+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}. $

Do vậy
$A \le \frac{1}{2}+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} \ne \frac{\pi\sqrt{5}}{8}. $

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f(x)=\frac{x}{2x-2\sqrt{x}+1}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 13-04-2013 lúc 02:29 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
Highschoolmath (13-04-2013), Phudinhgioihan (18-04-2013)
Old 13-04-2013, 03:35 PM   #11
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Không, sau khi đến đoạn
$A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\sin ^4t)}\sin ^3t\cos tdt $
mình đổi biến để được
$A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\cos ^4t)}\cos ^3t\sin tdt $
Đến đây, áp dụng C-S cho 2 cặp số ta được (không áp dụng C-S dạng tích phân do $\sin t $ và $\cos t $ ở 2 tích phân không đối xứng nên khó chọn hàm cho đẳng thức xảy ra)
$2A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\sin ^4t)}\sin ^3t\cos tdt+4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\cos ^4t)}\cos ^3t\sin tdt $
$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t(\sin ^2t\sqrt{f(\sin ^4t)}+\cos ^2t\sqrt{f(\cos ^4t)}) $
$\le 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t.\sqrt{\sin ^4t+\cos ^4t}=1+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}. $

Do vậy
$A \le \frac{1}{2}+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} \ne \frac{\pi\sqrt{5}}{8}. $

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f(x)=\frac{x}{2x-2\sqrt{x}+1}. $
Kết quả này chặt hơn của đề bài mà cậu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Highschoolmath For This Useful Post:
thaygiaocht (13-04-2013)
Old 13-04-2013, 10:38 PM   #12
analysis90
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2011
Bài gởi: 89
Thanks: 46
Thanked 39 Times in 23 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Highschoolmath View Post
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \} \geq x^{\alpha+\beta} - f(x)$$
$f(x)\geq x^{\alpha+\beta}-f(x)$ hay $f(x)\geq x^{\alpha+\beta}-f(y)$ ? $f(x)$ có là hàm đơn điệu không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
analysis90 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-04-2013, 11:28 PM   #13
Highschoolmath
Moderator
 
Highschoolmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần
Bài gởi: 698
Thanks: 247
Thanked 350 Times in 224 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi analysis90 View Post
$f(x)\geq x^{\alpha+\beta}-f(x)$ hay $f(x)\geq x^{\alpha+\beta}-f(y)$ ? $f(x)$ có là hàm đơn điệu không?
Với mỗi $x>0$, $f(x)$ nó là maximum của hàm $g(y)=x^{\alpha}.y^{\beta}-f(y)$ trên đoạn $[x,+\infty)$, thế nên hiển nhiên nó sẽ không nhỏ hơn giá trị của hàm $g(y)$ tại điểm $y=x$, cụ thể là không nhỏ hơn $g(x)=x^{\alpha+\beta}-f(x)$ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
As long as I live, I shall think only of the Victory......................

thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 13-04-2013 lúc 11:31 PM
Highschoolmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-04-2013, 11:38 PM   #14
lethuc_92
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: Bắc Ninh
Bài gởi: 8
Thanks: 9
Thanked 2 Times in 2 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới lethuc_92
Ai biết điểm cụ thể của 5 cao thủ này không?

Nguyễn Đức Nam (ĐH Sư phạm Hà Nội), Võ Văn Huy (ĐH Bách khoa TP.HCM), Nguyễn Văn Quý (ĐH Kinh tế quốc dân), Nguyễn Chí Trung (ĐH Sư phạm TP.HCM) và Lê Quang Lâm (ĐH Xây dựng Hà Nội).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lethuc_92 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to lethuc_92 For This Useful Post:
tailsth94 (14-04-2013)
Old 14-04-2013, 12:31 AM   #15
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Thời khắc vinh danh những gương mặt vinh dự đoạt giải nhất và giải đặc biệt tại kỳ thi năm nay (vì chưa có kinh nghiệm quay nên hình hơi mờ nhưng vẫn nhận ra một số cao thủ MS)
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 14-04-2013 lúc 12:49 AM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
huynhcongbang (14-04-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:14 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 110.07 k/126.70 k (13.13%)]