Một số bài toán tìm min, max

[hoaxinh]

Bài 1: Tìm min , max của:
$M = \frac{x(y+3)}{(x+y+z)^2} $

Bài 2: Cho $x, y, z \in R $ thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
Tìm min, max của $P = x + y+ z + xy + yz + zx $

Bài 3: Tìm min, max của: y = $x + \sqrt[4]{2 - x^4} $

Bài 4: Tìm min, max của: $y = \sqrt{x} + \sqrt{2 - x} + \sqrt{2(1-\sqrt{x(2-x)}} $

Bài 5: Tìm min, max của: $y = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2-x} + \sqrt{x} + \sqrt{2-x} + 2\sqrt[4]{x(2-x)} $

Bài 6: Tìm min: $y = \sqrt{5+x} + \sqrt{1-x} $

Bài 7: Tìm min, max của hàm số: $y = x^2 + \mid x \mid + \mid x+1 \mid - 2 $ trên $[-2;2] $

Bài 8: Cho $a, b \geq 0. m, n \in N^* $
CMR: a) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq \frac{1}{2}(a^m +b^m)(a^n +b^n) $
b) $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n $
c) Với $a, b > 0 $ Chứng minh:
$\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \leq \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi hoaxinh

Bài 8: Cho $a, b \geq 0. m, n \in N^* $
CMR: a) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq \frac{1}{2}(a^m +b^m)(a^n +b^n) $
b) $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n $
c) Với $a, b > 0 $ Chứng minh:
$\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \leq \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}} $

(b) và (c) dùng holder
(a) dùng chebyshev

------------------------------

Nguyên văn bởi hoaxinh

Bài 2: Cho $x, y, z \in R $ thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
Tìm min, max của $P = x + y+ z + xy + yz + zx $

Max

$P = x + y+ z + xy + yz + zx \le \sqrt{(x^2+y^2+z^2)3}+x^2+y^2+z^2=\sqrt{3}+1 $

Min

$P=x+y+z+\frac{(x+y+z)^2-1}{2} =\frac{t^2}{2}+t-\frac{1}{2} \ge ... $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi hoaxinh

Bài 8: Cho $a, b \geq 0. m, n \in N^* $
CMR: a) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq \frac{1}{2}(a^m +b^m)(a^n +b^n) $
b) $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n $
c) Với $a, b > 0 $ Chứng minh:
$\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \leq \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}} $

a/ bđt <=> $(a^n-b^n)(a^m-b^m)\ge0 $ đúng với mọi a,b >=0
b/ dùng quy nap
n=1 đúng
n=k>1 thì $\frac{a^k+b^k}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^k $
<=>$(\frac{a+b}{2})(\frac{a^k+b^k}{2}) \geq (\frac{a+b}{2})^{k+1} $
Mà $a^{k+1} + b^{k+1} \geq \frac{1}{2}(a^k +b^k)(a +b) $ theo a nên bđt đúng với n=k+1 =>đpcm
c/ Đặt $x=\sqrt[n]{a},y=\sqrt[n]{b} $ ta có bđt này chính là b
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi hoaxinh

Bài 3: Tìm min, max của: y = $x + \sqrt[4]{2 - x^4} $

Chọn điểm rơi ta có:

$Max=2 $ tại $x=1 $
$Min=1 $ tại $x=-1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi magic.

Chọn điểm rơi ta có:

$Max=2 $ tại $x=1 $
$Min=1 $ tại $x=-1 $

$Min =-\sqrt[4]{2} $ cơ bạn ah
$ -\sqrt[4]{2}\le x\le\sqrt[4]{2} $
=> $x\ge -\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2-x^{4}}\ge 0 $
=> $VT\ge-\sqrt[4]{2} $dạt khi $x=-\sqrt[4]{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Aotrang]

Tìm max của biểu thức
$P=\sin^n2x+(\sin^nx-\cos^nx)^2. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hikimaru]

Bài 8: Xét hàm $f(x)={x}^{n}+{(c-x)}^{n} $ trên đoạn [0,c]
suy ra f(x) đạt min tại x=$\frac{c}{2} $ suy ra dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[th2091]

Nguyên văn bởi Aotrang

Tìm max của biểu thức
$P=\sin^n2x+(\sin^nx-\cos^nx)^2. $

Đk của n là gì vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Aotrang]

Tất nhiên n là số nguyên dương rùi.
Hikimaru có thể làm rõ ràng hơn chút được k?
Như thế có phải ai cũng hiểu đâu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]