Tìm đa thức thỏa $P(a+b)-P(b)$ chia hết cho $P(a)$.

**tikita** · 23-02-2016, 09:29 AM

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $a,b$ thỏa $P(a)\neq 0$ thì $P(a+b)-P(b)$ chia hết cho $P(a)$.

USAMTS 2016

trungnghia215 · 26-02-2016, 09:14 AM

Dễ thấy $P(x) = C$ với $C$ là hằng số thì thỏa mãn.
Xét $d = \deg{P(x)} \ge 1$. Gọi $\alpha$ là nghiệm thực lớn nhất của $P(x)$, ta sẽ làm việc trên các số nguyên lớn hơn $\alpha$. Mặt khác, không mất tính tổng quát, nếu $P(x)$ là một nghiệm thì $Q(x) = -P(x)$ cũng là một nghiệm, vậy nên ta có thể giả sử hệ số cao nhất của $P(x)$ dương.
Khi đó $\lim_{x\to+\infty}P(x) = +\infty$. Nghĩa là với $x$ đủ lớn thì $P(x + 1) - P(1) > 0$ và $P(x) > 0$.
Theo đề bài, $\frac{P(x + 1) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{Z}_{+} \implies \frac{P(x + 1) - P(1)}{P(x)} \ge 1$
Do đó, $\frac{P(x + 1) - P(x) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{Z}$ và $\frac{P(x + 1) - P(x) - P(1)}{P(x)} \ge 0$. Để ý là $Q(x) = P(x + 1) - P(x)$ là một đa thức bậc $d - 1$.
+ Nếu $d \ge 2$ thì $Q(x)$ là một đa thức khác hằng. Khi đó $\lim_{x\to+\infty}\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} = 0$. Nghĩa là chọn $x$ đủ lớn thì $\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} < 1$. Tóm lại suy ra với $x$ đủ lớn thì $Q(x) = P(1)$. Mà phương trình này với $\deg{Q} \ge 1$ mà có vô số nghiệm, vô lí.
+ Nếu $d = 1$ thì $P(x) = ax + b (a \neq 0)$. Thế vào có $\frac{ax}{ax + b} \in \mathbb{Z}$ với $x$ sao cho $ax + b \neq 0$. Điều này sẽ suy ra $b = 0$ khi chọn $x$ đủ lớn.
Vậy $P(x) = ax$ hoặc $P(x) = C$ là các nghiệm cần tìm.

23-02-2016, 09:29 AM	#1
tikita Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts	Tìm đa thức thỏa $P(a+b)-P(b)$ chia hết cho $P(a)$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $a,b$ thỏa $P(a)\neq 0$ thì $P(a+b)-P(b)$ chia hết cho $P(a)$. USAMTS 2016

26-02-2016, 09:14 AM	#2
trungnghia215 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2015 Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Dễ thấy $P(x) = C$ với $C$ là hằng số thì thỏa mãn. Xét $d = \deg{P(x)} \ge 1$. Gọi $\alpha$ là nghiệm thực lớn nhất của $P(x)$, ta sẽ làm việc trên các số nguyên lớn hơn $\alpha$. Mặt khác, không mất tính tổng quát, nếu $P(x)$ là một nghiệm thì $Q(x) = -P(x)$ cũng là một nghiệm, vậy nên ta có thể giả sử hệ số cao nhất của $P(x)$ dương. Khi đó $\lim_{x\to+\infty}P(x) = +\infty$. Nghĩa là với $x$ đủ lớn thì $P(x + 1) - P(1) > 0$ và $P(x) > 0$. Theo đề bài, $\frac{P(x + 1) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{Z}_{+} \implies \frac{P(x + 1) - P(1)}{P(x)} \ge 1$ Do đó, $\frac{P(x + 1) - P(x) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{Z}$ và $\frac{P(x + 1) - P(x) - P(1)}{P(x)} \ge 0$. Để ý là $Q(x) = P(x + 1) - P(x)$ là một đa thức bậc $d - 1$. + Nếu $d \ge 2$ thì $Q(x)$ là một đa thức khác hằng. Khi đó $\lim_{x\to+\infty}\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} = 0$. Nghĩa là chọn $x$ đủ lớn thì $\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} < 1$. Tóm lại suy ra với $x$ đủ lớn thì $Q(x) = P(1)$. Mà phương trình này với $\deg{Q} \ge 1$ mà có vô số nghiệm, vô lí. + Nếu $d = 1$ thì $P(x) = ax + b (a \neq 0)$. Thế vào có $\frac{ax}{ax + b} \in \mathbb{Z}$ với $x$ sao cho $ax + b \neq 0$. Điều này sẽ suy ra $b = 0$ khi chọn $x$ đủ lớn. Vậy $P(x) = ax$ hoặc $P(x) = C$ là các nghiệm cần tìm.