Bốn đường thẳng đồng quy

ntkhang · 25-09-2010, 07:37 PM

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác thỏa mãn: $ \angle{BMC}-\angle{A}=\angle{CMA}-\angle{B}=\angle{AMB}-\angle{C} $. Gọi $ I_1,I_2,I_3,I $ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MBC,MCA,MAB,ABC. Chưng minh rằng: $AI_1,BI_2,CI_3,MI $ đồng quy.

sonltv_94 · 25-09-2010, 11:18 PM

Bài toán tương đương.
Cho $\triangle ABC.T $ là điểm Torricenlli của nó.$M $ là điểm đẳng giác liên hợp của $T $ wrt $\triangle ABC.I_1;I_2;I_3 $ lần lượt là tâm vòng tròn nội tiếp $\triangle MBC;MCA;MCB $ thì khi đó $AI_1;BI_2;CI_3 $ đồng quy.

** Chứng minh
Ta có $M $ là giao 3 đường tròn Apollonius của $BC;CA;AB $ lần lượt ứng với các tỉ số $\dfrac{AB}{AC};\dfrac{BC}{BA};\dfrac{CA}{CB}(*) $ (chứng minh điều này dựa vào tam giác đồng dạng)
Gọi $D $ là chân đường phân giác trong đỉnh $A.S\equiv AI_1 \cap MI $.Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $MID $ ta thu được $\dfrac{SM}{SI}= \dfrac {MB+MC}{BC}.\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC}(**) $
Từ $(*);(**) $ ta nhận được đpcm

25-09-2010, 07:37 PM	#1
ntkhang +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Chuyên Hùng Vương Bài gởi: 96 Thanks: 1 Thanked 24 Times in 18 Posts	Bốn đường thẳng đồng quy Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác thỏa mãn: $ \angle{BMC}-\angle{A}=\angle{CMA}-\angle{B}=\angle{AMB}-\angle{C} $. Gọi $ I_1,I_2,I_3,I $ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MBC,MCA,MAB,ABC. Chưng minh rằng: $AI_1,BI_2,CI_3,MI $ đồng quy. __________________ Giang hồ đẫm máu anh không sợ Chỉ sợ đường về vắng bóng em.

25-09-2010, 11:18 PM	#2
sonltv_94 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai Bài gởi: 149 Thanks: 29 Thanked 139 Times in 85 Posts	Bài toán tương đương. Cho $\triangle ABC.T $ là điểm Torricenlli của nó.$M $ là điểm đẳng giác liên hợp của $T $ wrt $\triangle ABC.I_1;I_2;I_3 $ lần lượt là tâm vòng tròn nội tiếp $\triangle MBC;MCA;MCB $ thì khi đó $AI_1;BI_2;CI_3 $ đồng quy. ** Chứng minh Ta có $M $ là giao 3 đường tròn Apollonius của $BC;CA;AB $ lần lượt ứng với các tỉ số $\dfrac{AB}{AC};\dfrac{BC}{BA};\dfrac{CA}{CB}() $ (chứng minh điều này dựa vào tam giác đồng dạng) Gọi $D $ là chân đường phân giác trong đỉnh $A.S\equiv AI_1 \cap MI $.Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $MID $ ta thu được $\dfrac{SM}{SI}= \dfrac {MB+MC}{BC}.\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC}() $ Từ $();(*) $ ta nhận được đpcm thay đổi nội dung bởi: sonltv_94, 25-09-2010 lúc 11:21 PM*