Mở rộng trường

[MathForLife]

Vì 2 bài này gần như nhau nên em muốn đăng lên một lúc 2 bài ạ.
1) Cho $L_{1}$ và $L_{2}$ là những mở rộng trường $K$. Giả sử $L_{1}$ và $L_{2}$ đều nằm trong một trường $F$ nào đó. Chứng minh rằng $L_{1}L_{2}$ là mở rộng hữu hạn trên $K$ khi và chỉ khi $L_{1}$ và $L_{2}$ đều là các trường mở rộng hữu hạn trên $K$.
2) Cho mở rộng hữu hạn $F/K$ và $L_{1}, L_{2}$ là các trường con của$F$ chứa $K.$
a) chứng minh rằng $[L_{1}L_{2} :K] \le [L_{1} :K][L_{2} :K]$
b) chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi $[L_{1} :K]$ và $[L_{2} : K]$ là các số nguyên tố cùng nhau.
c) cho ví dụ chứng tỏ $[L_{1}L_{2}:K]<[L_{1} :K][L_{2} :K].$
Ở bài 1 em có được hướng dẫn là gọi ${x_i}$ là cở sở của $L_{1}$ và ${y_j}$ là cơ sở của $L_{2}$ chứng minh ${x_{i}y_{j}}$ là tập sinh của $L_{1}L_{2}$. Nhưng khi em lấy phần tử $\frac{f(y_{1}, y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ thì em lại không biết cách biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ${x_{i}y_{j}}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kelacloi]

Okay em,
Bài 1:

Anh cũng đặt câu hỏi y chang em, nãy giờ anh đi kiếm sách mới ra câu trả lời cho em . Đúng hơn là 1 đoạn người ta giảng về cấu trúc của mấy thằng mở rộng trường hữu hạn này.

Cũng chẳng qua hiển nhiên đâu, công sức lắm đấy.
I/ABstract
Anh với em gặp chung 1 cái khó chịu là làm sao, biến 1 tính chất trên Không gian Vector về 1 tính chất trên Trường.
Phía dưới thì người ta chỉ ra mối liên hệ.

II/Hướng của người ta :

Người ta đi từ điều sau:
Proposition 1: "Nếu $L$ là 1 mở rộng hữu hạn của $K$ thì $L$ là đại số trên $K$"
Kế đến thì xài :
Proposition 2 " Nếu $L_1,L_2$ là các trường đại số trên $K$. Hơn nữa, tồn tại trường $F$ sao cho $L_1,L_2$ là các trường con của $F$.
Thì $L_1L_2$ là trường đại số trên $K$."
( O day anh coi $L_1L_2= { \sum_{n=1}^{m} a_n.b_n | a_i \in L_1, b_i \in L_2 } $ )
Kế đến thì em có cái em cần rồi .
" Nếu $ g \in L_1L_2$ , $g$ khác $0$ thì $g có nghịch đảo$" (Tại $L_1L_2$ ) là $K$-đại số mà.

II/ Sách để tra:
Serge Lang- Algebra - trang 221-235 ( hơi dư , nhưng em theo đại số thì tốt cho em ).
Link: [Only registered and activated users can see links. ]


Bài 2:
a) Anh nghĩ em hiểu đc phần bài 1, thì phần bài 2 k câu này k vấn đề.
b) Anh dự đoán là $[L_1:K]$ chia hết $[L_1L_2:K]$ nên mình có kết quả này.(anh k chac chan nhe )
c) Chọn $L_1,L_2$ sao cho:
i) $[L_1:K]>1$.
ii) $ L_2/L_1$
Vậy là $[ L_1L_2: K]= [L_2:K] < [L_1:K][L_2:K]$
thế là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Em vẫn chưa hiểu anh ạ!
Nếu gọi ${y_{i}}$ là cơ sở của $L_{2}$ thì $L_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $vì đây là một mở rộng hữu hạn nên nó cũng là một mở rộng đại số, mọi phần tử của $L_{1}L_{2}$ đều là đại số trên $L_{1}$ nên nó sẽ có điều trên. Như vậy ta có thể xem trường các thương đa thức như một tổ hợp tuyến tính hay nếu gọi a thuộc $L_{1}L_{2}$ thì ta có:
$a=\frac{f(y_{1},y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},. ..,y_{n})}$
$a$ sẽ thuộc $L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $nên có thể coi $a=h(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\sum \alpha_{i}y_{i}$
Em hiểu như trên có gì sai không anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ngonkhtn]

Nguyên văn bởi MathForLife

Vì 2 bài này gần như nhau nên em muốn đăng lên một lúc 2 bài ạ.
1) Cho $L_{1}$ và $L_{2}$ là những mở rộng trường $K$. Giả sử $L_{1}$ và $L_{2}$ đều nằm trong một trường $F$ nào đó. Chứng minh rằng $L_{1}L_{2}$ là mở rộng hữu hạn trên $K$ khi và chỉ khi $L_{1}$ và $L_{2}$ đều là các trường mở rộng hữu hạn trên $K$.
2) Cho mở rộng hữu hạn $F/K$ và $L_{1}, L_{2}$ là các trường con của$F$ chứa $K.$
a) chứng minh rằng $[L_{1}L_{2} :K] \le [L_{1} :K][L_{2} :K]$
b) chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi $[L_{1} :K]$ và $[L_{2} : K]$ là các số nguyên tố cùng nhau.
c) cho ví dụ chứng tỏ $[L_{1}L_{2}:K]<[L_{1} :K][L_{2} :K].$
Ở bài 1 em có được hướng dẫn là gọi ${x_i}$ là cở sở của $L_{1}$ và ${y_j}$ là cơ sở của $L_{2}$ chứng minh ${x_{i}y_{j}}$ là tập sinh của $L_{1}L_{2}$. Nhưng khi em lấy phần tử $\frac{f(y_{1}, y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ thì em lại không biết cách biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ${x_{i}y_{j}}.$

1. $L_1L_2$ chứa $L_1,L_2$ nên nếu $L_1L_2$ là k-kgvt hữu hạn chiều, điều đó cũng đúng cho $L_1,L_2$. Ngược lại, nếu $L_1=F(\alpha_i),L_2=F(\beta_i)$ thì $L_1L_2=F(\alpha_i,\beta_i)$. Do $L_i$ là mở rộng hữu hạn nên các $\alpha_i,\beta_i$ là đại số trên F. Như vậy $L_1L_2$ là hữu hạn chiều.
2. Mọi phần tử trong $L_1L_2$ có dạng tổng các tích của các phần tử trong $L_1,L_2$ (trong trường hợp hữu hạn chiều), nên có dạng các F-tổ hợp tuyến tính của $\alpha_i\beta_j$, từ đó ta có kết luận
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kelacloi]

Nguyên văn bởi MathForLife

Như vậy ta có thể xem trường các thương đa thức như một tổ hợp tuyến tính

hay nếu gọi a thuộc $L_{1}L_{2}$ thì ta có:
$a=\frac{f(y_{1},y_{2},...,y_{n})}{g(y_{1},y_{2},. ..,y_{n})}$
$a$ sẽ thuộc $L_{1}[y_{1},y_{2},...,y_{n}] $nên có thể coi $a=h(y_{1},y_{2},...,y_{n})=\sum \alpha_{i}y_{i}$
Em hiểu như trên có gì sai không anh?

Em thay chữ có thể coi bằng có thể biểu diễn dưới dạng thì chuẩn.

Cho $L_1,L_2$ là mở rộng trường $K$. $L_1,L_2$ đều nằm trong 1 trường $F$ nà đó. Ta có các định lý sau:

Định lý 1:. Nếu $L_1/K$ là mở rộng hữu hạn thì $L_1$ là 1 đại số trên $K$.
Chứng minh 1:

Với $\alpha \in L_1$ xét không gian vector trên K sinh bởi ${\alpha,\alpha^2,\alpha^3,..}$ .

Định lý 2: Nếu:
i) $R$ là 1 vành cảm sinh bởi $F$
ii) $R \supset K$
iii) mỗi phần tử của $R$ là 1 số đại số của $K$
Thì $R$ là 1 mở rộng trường $K$.
Chứng minh 2:

+$R$ là vành con của $F$ nên $R$ là vành nguyên.
+Với $\alpha \in R$ , do giả thiết nên tồn tại $P \in K[x]$ có bậc nhỏ nhất sao cho:
$P(\alpha)=0$ .
Viết $P(x)=x.Q(x)+k$ ( $k \in K$ ).
Nếu $a=0$ thì ta có $Q(\alpha)=0$ . Điều này mâu thuẫn vì $degQ<degP$.
Vậy $a$ khác $0$.
hay: $ \alpha .[ k^{-1}.Q(\alpha)]=1$.

Nên $alpha$ có nghịch đảo trong $R$.
Nên $R$ là 1 trường.

.

Quay lại bài toán.
Em gọi $R$ là vành nhỏ nhất nằm trong $F$ và chứa $L_1,L_2$.
Khi đó , $R = { \sum_{n=1}^N x_ny_n$ |x_n \in L_1,y_n \in L_2}$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]