|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-04-2017, 06:32 PM | #1 |
Super Moderator | Chuẩn của toán tử tuyến tính Cho $E$ là không gian Banach và $T \in \mathcal{L}\left(E \right)$. Đặt \[{a_n} = \ln \left\| {{T^n}} \right\|,n \geqslant 1\] Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_n}}}{n}$ hơn nữa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_n}}}{n} = \mathop {\inf }\limits_{m \geqslant 1} \frac{{{a_m}}}{m}$. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
14-04-2017, 11:53 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
Với mỗi $n \geq 1$ và $m > n$, ta có thể viết $m = k_m n + r_m$ với $r_m = 1,2,\ldots,n-1$. Đặt $M_n = \max_{1\leq i \leq n-1} |a_i|$, ta có $$\frac{a_m} m \leq \frac{k_m a_n + M_n}{k_m n + r_m}.$$ Cho $m$ ra vô cùng, khi đó $k_m \to \infty$, ta được \[ \limsup_{m\to \infty} \frac{a_m}{m} \leq \frac{a_n}{n} \] với mọi $n$. Cho $n$ ra vô cùng, ta được \[ \limsup_{m\to \infty} \frac{a_m}{m} \leq \liminf_{n\to \infty}\frac{a_n}{n}. \] Từ đây suy ra tồn tại $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}n$. Đặt $q = \inf_n \frac{a_n} n$. Với mọi $\epsilon >0$, tồn tại $n_0$ sao cho \[ q \leq \frac{a_{n_0}}{n_0} < q + \epsilon. \] Do đó \[ q \leq \frac{a_{kn_0}}{k n_0} \leq \frac{a_{n_0}}{n_0} < q + \epsilon, \] với mọi $k\geq 1$. Cho $k$ ra vô cùng ta được \[ q \leq \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}n = \lim_{k\to \infty} \frac{a_{kn_0}}{k n_0} \leq q + \epsilon, \] với mọi $\epsilon >0$. Do đó $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}n = q =\inf_n \frac{a_n} n$. | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | Nô Có tên (16-04-2017) |
Bookmarks |
|
|