Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2019

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 29-03-2019, 01:53 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đề thi VN TST 2019

Sáng nay, tại trường THPT Chuyên Amsterdam HN, kỳ thi chọn đội VN 2019 đã diễn ra với gần 49 thí sinh, gồm 1 bạn đạt HCB IMO 2018 và 48 bạn giải nhất-nhì của kỳ thi VMO. Dưới đây là đề thi ngày 1.
P/s: update đề ngày 2.

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2019
Thời gian làm bài: 270 phút.

Ngày thi thứ nhất.

Bài 1. (7 điểm)
Trong một quốc gia có $n\ge 2$ thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho các đường bay trên cho một số hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng duy nhất.
ii) Di chuyển bằng đường bay của 1 hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ 1 thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép tối đa cho bao nhiêu hãng hàng không?

Bài 2. Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng đa thức sau đây
$${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{2 n}^{2k}\cdot {{x}^{k}}\cdot {{(x-1)}^{n-k}}}$$
có $n$ nghiệm thực phân biệt.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $M$ là trung điểm $BC,$ trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm thuộc tia đổi của tia $HA$ sao cho $DM=\frac{BC}{2}$ và ${D}'$ là điểm đối xứng với $D$ qua $BC.$ Giả sử $AO$ cắt $MD$ tại $X.$
a) Chứng minh rằng $AM$ đi qua trung điểm của ${D}'X.$
b) Định nghĩa các điểm $E,F$ tương tự điểm $D$; các điểm $Y,Z$ định nghĩa tương tự điểm $X.$ Gọi $S$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ và $G$ là hình chiếu của trung điểm $AS$ lên đường thẳng $AO.$ Chứng minh rằng tồn tại một điểm có cùng phương tích với cả bốn đường tròn $(SGO),(BYE),(CFZ),(O).$

Ngày thi thứ hai.

Bài 4.
Tìm các bộ ba nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn
${{2}^{x}}+1={{7}^{y}}+{{2}^{z}}$.
Bài 5.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O),$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Giả sử $BI$ cắt $AC$ ở $E$ và $CI$ cắt $AB$ ở $F.$ Đường tròn qua $E,$ tiếp xúc với $OB$ tại $B$ cắt $(O)$ tại $M.$ Đường tròn qua $F$ tiếp xúc với $OC$ tại $C$ cắt $(O)$ tại $N.$ Các đường thẳng $ME,NF$ cắt lại $(O)$ lần lượt tại $P,Q.$ Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC.$ Đường thẳng $PQ$ cắt $BC,EF$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng trung tuyến qua $G$ của tam giác $GHK$ thì vuông góc với đường thẳng $OI.$
Bài 6.
Một con bọ ở vị trí có tọa độ $x=1$ trên trục số. Ở mỗi bước, từ vị trí có tọa độ $x=a,$ con bọ có thể nhảy đến vị trí có tọa độ $x=a+2$ hoặc $x=\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng có tất cả ${{F}_{n+4}}-(n+4)$ vị trí khác nhau (kể cả vị trí ban đầu) mà con bọ có thể nhảy đến với không quá $n$ bước nhảy, trong đó $({{F}_{n}})$ là dãy Fibonacci xác định bởi
${{F}_{0}}={{F}_{1}}=1,\text{ }{{F}_{n}}={{F}_{n-1}}+{{F}_{n-2}}$ với $n\ge 2.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
Akira Vinh HD (01-05-2019), Le khanhsy (29-03-2019), ncthanh (29-03-2019)
Old 29-03-2019, 06:20 PM   #2
phuongcvp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2016
Đến từ: Vĩnh Phúc
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 2 Times in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Sáng nay, tại trường THPT Chuyên Amsterdam HN, kỳ thi chọn đội VN 2019 đã diễn ra với gần 49 thí sinh, gồm 1 bạn đạt HCB IMO 2018 và 48 bạn giải nhất-nhì của kỳ thi VMO. Dưới đây là đề thi ngày 1.

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2019
Thời gian làm bài: 270 phút.

Ngày thi thứ nhất.


Bài 2. Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng đa thức sau đây
$${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{2 n}^{2k}\cdot {{x}^{k}}\cdot {{(x-1)}^{n-k}}}$$
có $n$ nghiệm thực phân biệt.
Nếu $x \neq 1$
Đặt $t=\dfrac{2x}{1-x}$ thì $x=\dfrac{t}{t+2}$ và thay vào thì
$${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{2 n}^{2k}\cdot {{x}^{k}}\cdot {{(x-1)}^{n-k}}}=\dfrac{2^n}{(t+2)^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{2 n}^{2k}(-t)^k=\dfrac{2^n}{(t+2)^n}\sum\limits_{k=0}^{n}C_{2 n}^{2k}(i\sqrt{t})^{2k}$$
Từ đó $${{P}_{n}}(x)=\dfrac{2^{n-1}}{(t+2)^n}\left[\left(i\sqrt{t}+1\right)^{2n}+\left(i\sqrt{t}-1\right)^{2n}\right]=\dfrac{2^{n-1}(t+1)^n}{(t+2)^n}\left[\left(i\dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}}+\frac{1}{\sqrt {t+1}}\right)^{2n}+\left(i\dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{t +1}}-\frac{1}{\sqrt{t+1}}\right)^{2n}\right]$$
Ta chỉ ra $n$ nghiệm của đa thức đều nằm trong $[0,1]$ hay $t>0$
Tồn tại $\phi$ để $cos \phi =\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}$
Áp dụng công thức De Morve thì $${{P}_{n}}(x)=\dfrac{2^{n-1}(t+1)^n}{(t+2)^n}\left(\cos(2n\phi)+i\sin(2n\phi )+\cos(2n(\pi-\phi))+i\sin(2n(\pi-\phi))\right)=\dfrac{2^{n}(t+1)^n}{(t+2)^n}\cos(2n \phi)$$
Giờ chọn $2n\phi=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}\Leftrightarrow \phi =\dfrac{(2k+1)\pi}{4n}$ với $k$ từ $0$ đến $n-1$ ta được $n$ số $\phi$
Thay vào ra $n$ số $t$ dương và từ đó ra được $n$ nghiệm của phương trình
Một bài toán có dạng giống nhưng cách làm khác:
Putnam 2014 B4 Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương thì đa thức ${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k$ có $n$ nghiệm thực phân biệt
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: phuongcvp, 29-03-2019 lúc 06:25 PM
phuongcvp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to phuongcvp For This Useful Post:
Akira Vinh HD (01-05-2019), Le khanhsy (29-03-2019)
Old 30-03-2019, 01:04 PM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đã cập nhật đề ngày 2 nha mọi người.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 30-03-2019, 03:20 PM   #4
chemthan
Administrator

 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 349
Thanks: 0
Thanked 306 Times in 160 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài 6.
Một con bọ ở vị trí có tọa độ $x=1$ trên trục số. Ở mỗi bước, từ vị trí có tọa độ $x=a,$ con bọ có thể nhảy đến vị trí có tọa độ $x=a+2$ hoặc $x=\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng có tất cả ${{F}_{n+4}}-(n+4)$ vị trí khác nhau (kể cả vị trí ban đầu) mà con bọ có thể nhảy đến với không quá $n$ bước nhảy, trong đó $({{F}_{n}})$ là dãy Fibonacci xác định bởi
${{F}_{0}}={{F}_{1}}=1,\text{ }{{F}_{n}}={{F}_{n-1}}+{{F}_{n-2}}$ với $n\ge 2.$
Đặt $y = \frac{x}{2}$ và xét biểu diễn nhị phân của số thực. Bài toán trờ thành bắt đầu từ $0.1$, mỗi lần tăng 1 hoặc giảm đi 2 lần.
Gọi $a_n$ là số các phần lẻ khác nhau có thể đi đến sau $n$ bước đi, $b_n$ là số các phần lẻ mới xuất hiện ở bước đi thứ $n$. Ta có: $b_n = b_{n - 1} + b_{n - 2}, a_n = a_{n - 1} + b_n$. Suy ra $a_n = F_{n + 2} - 1$. Ở bước thứ $n$ số các vị trí mới có thể nhảy đến chính là $a_n$. Suy ra tất cả các vị trí có thể nhảy đến với ít hơn hoặc bằng $n$ bước nhảy là $a_0 + a_1 + ... + a_n = F_{n + 4} - (n + 4)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to chemthan For This Useful Post:
MATHSCOPE (30-03-2019)
Old 27-04-2019, 10:32 PM   #5
ongtrum1412
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2011
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Sao k thay topic hay cm danh sach VN tst 2019 vay moi nguoi. co le da it nguoi quan tam den tst roi...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ongtrum1412 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:01 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 60.05 k/67.10 k (10.50%)]