Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-05-2011, 06:35 PM   #241
franciscokison
+Thành Viên+
 
franciscokison's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2009
Đến từ: Hanoi University of Science and Technology
Bài gởi: 652
Thanks: 120
Thanked 249 Times in 181 Posts
Gửi tin nhắn qua MSM tới franciscokison Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới franciscokison
Hồi cấp ba anh có "nghiên cứu" BĐT thì phát hiện bất đẳng thức sau:

$(X^2+Y^2+Z^2+XY+YZ+ZX)(a^2+b^2+c^2)+(XY+YZ+ZX)(ab+ bc+ca)\ge (x+y+z)((a^2+2bc)x+(b^2+2ca)y+(c^2+2ab)z), $ mọi $a,b,c $ và $X,Y,Z \in R $, chỉ cần thay X=a(a-b), Y=b(b-c), Z=c(c-a) thì được bất đẳng thức nổi tiếng trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
SvBk
[Only registered and activated users can see links. ][Only registered and activated users can see links. ]
$\begin{math}
\heartsuit\heartsuit\heartsuit
\end{math}. $
[Only registered and activated users can see links. ]
franciscokison is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-05-2011, 06:40 PM   #242
thanhtungkid
+Thành Viên+
 
thanhtungkid's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 37
Thanks: 16
Thanked 24 Times in 18 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi leviethai View Post
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta suy ra
$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2(ab + bc + ca)}}=\dfrac{(a+b+c)^2}{2}, $
Ta cần chứng minh
$\frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{2} + 2 \ge 2(a + b + c), $
Hiển nhiên đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $
Lời giải của bạn có phần chưa ổn. Giả sử $c=\min(a,b,c) $
Nếu $c=0 $, $\frac{c}{a+b}=\frac{c^2}{ac+bc} $ điều này là không thể xảy ra.
Mình xin được chỉnh lại lời giải như sau:
Nhận thấy $a,b\neq 0 $
+) Nếu $c=0 $. Khi đó $ab=1 $. Bất đẳng thức trở thành
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2 $
Sử dụng bđt AM-GM ta có ngay $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2 $
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=1 $
+) $c\neq 0 $. Lúc này sẽ làm giống như của bạn.
Chú ý rằng dấu đẳng thức trong trường hợp này không xảy ra.
Vậy bđt đã cho luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=1;c=0 $ và các hoán vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thanhtungkid is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-05-2011, 06:51 PM   #243
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi thanhtungkid View Post
Lời giải của bạn có phần chưa ổn. Giả sử $c=\min(a,b,c) $
Nếu $c=0 $, $\frac{c}{a+b}=\frac{c^2}{ac+bc} $ điều này là không thể xảy ra.
Mình xin được chỉnh lại lời giải như sau:
Nhận thấy $a,b\neq 0 $
+) Nếu $c=0 $. Khi đó $ab=1 $. Bất đẳng thức trở thành
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2 $
Sử dụng bđt AM-GM ta có ngay $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2 $
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=1 $
+) $c\neq 0 $. Lúc này sẽ làm giống như của bạn.
Chú ý rằng dấu đẳng thức trong trường hợp này không xảy ra.
Vậy bđt đã cho luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=1;c=0 $ và các hoán vị.
Cám ơn bạn, nhưng không có gì nhầm lẫn đâu bạn.
Thực ra nếu chúng ta viết
$\begin{aligned}
\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} &= \frac{{{a^2}}}{{a(b + c)}} + \frac{{{b^2}}}{{b(c + a)}} + \frac{{{c^2}}}{{c(a + b)}}\\
&\ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2(ab + bc + ca)}},
\end{aligned} $
Thì có thể chưa đúng khi chưa xét trường hợp.

Nhưng thực tế, mình đã áp dụng Cauchy Schwarz như sau
$\left[ {a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)} \right]\left( {\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}} \right) \ge {(a + b + c)^2}, $
Khi đó ta không phải cần xét trường hợp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
G-Dragon (24-05-2011), thanhtungkid (23-05-2011)
Old 24-05-2011, 11:24 AM   #244
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thanhtungkid View Post
Lời giải của bạn có phần chưa ổn. Giả sử $c=\min(a,b,c) $
Nếu $c=0 $, $\frac{c}{a+b}=\frac{c^2}{ac+bc} $ điều này là không thể xảy ra.
Điều này là thường thấy trong khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Ta chỉ cần quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0 là được.
[Bài .96..] Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c $ bất đẳng thức sau luôn được thỏa mãn
$\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+ \frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}\ge\frac{3}{5} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 24-05-2011 lúc 11:45 AM Lý do: đánh số theo thứ tự
Nguyenhuyen_AG is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-05-2011, 11:49 AM   #245
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG View Post
Điều này là thường thấy trong khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Ta chỉ cần quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0 là được.
[Bài .96..] Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c $ bất đẳng thức sau luôn được thỏa mãn
$\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+ \frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}\ge\frac{3}{5} $
Chuẩn hóa $a+b+c=3 $ Đưa về chứng minh BĐT:
$\frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}+\frac{b^2}{b^2+(3-b)^2}+ \frac{c^2}{c^2+(3-c)^2}\ge\frac{3}{5} $
Trong 3 số $a,b,c $ luôn có 2 số cùng lớn hơn hoặc bằng 1, hoặc cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1. Giả sử 2 số đó là $b,c $. Khi ấy:
$(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1-b-c\geq 0 $
Do đó $b^2+c^2\leq 1+(b+c-1)^2=1+(2-a)^2 $
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{b^2}{b^2+(3-b)^2}+ \frac{c^2}{c^2+(3-c)^2}\ge\frac{(b+c)^2}{2[(b^2+c^2)-3(b+c)+9]}=\frac{(3-a)^2}{2[(b^2+c^2)+3a]}\geq \frac{a^2-6a+9}{2[1+(2-a)^2+3a]} $
Vật ta chỉ cần chứng minh

$\frac{a^2}{a^2+(3-a)^2} + \frac{a^2-6a+9}{2[1+(2-a)^2+3a]}\ge\frac{3}{5} $
Đây là bđt 1 biến dễ dàng đưa về $(a-1)^2(...)>0 $ đfcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 24-05-2011 lúc 12:54 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
Mr_Trang (25-05-2011), vthiep94 (31-05-2011)
Old 24-05-2011, 11:56 AM   #246
G-Dragon
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Đến từ: Hi, I'm Nos, the man on the moon
Bài gởi: 88
Thanks: 131
Thanked 85 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG View Post
Điều này là thường thấy trong khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Ta chỉ cần quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0 là được.
[Bài .96..] Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c $ bất đẳng thức sau luôn được thỏa mãn
$\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+ \frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}\ge\frac{3}{5} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
G-Dragon is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to G-Dragon For This Useful Post:
vthiep94 (31-05-2011)
Old 25-05-2011, 07:31 AM   #247
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts
Bài 97 Cho ba số $a,b,c \ge 0 $ và ít nhất 1 số >0 .CMR:
$\frac{a}{2a+4b+c}+\frac{b}{2b+4c+a}+\frac{c}{2c+4a +b}\leq \frac{1}{2} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-05-2011, 02:52 PM   #248
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Cho $a,b,c,d $ là các số dương. Chứng minh
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2+\frac{b+d}{c+a}+\frac{c+a}{b+d} $
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport
Nguyenhuyen_AG is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-05-2011, 04:07 PM   #249
buon qua
+Thành Viên+
 
buon qua's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Bài gởi: 39
Thanks: 70
Thanked 56 Times in 23 Posts
Bài 99: Cho các số thực dương $a,b,c,d $ thỏa mãn $abcd=1. $ Chứng minh rằng:
$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2) \ge (a+b+c+d)^2. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
buon qua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-05-2011, 04:47 PM   #250
ptk_1411
Moderator
 
ptk_1411's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 698
Thanks: 162
Thanked 813 Times in 365 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buon qua View Post
Bài 99: Cho các số thực dương $a,b,c,d $ thỏa mãn $abcd=1. $ Chứng minh rằng:
$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2) \ge (a+b+c+d)^2. $
Trong 4 số $a,b,c,d $ sẽ có ít nhất 2 số cùng bé hơn hay cùng lớn hơn 1.Giả sử đó là b và d. Thế thì: $(b-1)(d-1)\ge 0 $

Sử dụng bđt C-S:

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^ 2+1+d^2+c^2d^2)\geq (c+a+bd+abcd)^2=(a+c+bd+1)^2 $

Ta cm: $(a+c+bd+1)^2\geq (a+b+c+d)^2\Leftrightarrow a+c+bd+1\ge a+b+c+d\Leftrightarrow bd+1\ge b+d\Leftrightarrow (b-1)(d-1)\geq 0 $ (đúng)

Vậy bđt được cm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
P.T.K
Có xa xôi mấy mà tình xa xôi...
ptk_1411 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to ptk_1411 For This Useful Post:
daylight (26-05-2011), hizact (25-05-2011), vthiep94 (31-05-2011)
Old 25-05-2011, 08:04 PM   #251
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG View Post
Cho $a,b,c,d $ là các số dương. Chứng minh
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2+\frac{b+d}{c+a}+\frac{c+a}{b+d} $
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Nhân $(a+c) $ 2 vế cho ta bất đẳng thức tương đương là
$\dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{{c^2}}}{d} + \dfrac{{dc}}{a} + \dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{ac}}{d} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2(a + c) + \dfrac{{{{(a + c)}^2}}}{{b + d}}. $

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì là tổng của các bất đẳng thức sau
$\begin{aligned}
\frac{{{c^2}}}{d} + \frac{{{a^2}}}{b} &\ge \frac{{{{(a + c)}^2}}}{{b + d}},\\
\frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} &\ge 2a,\\
\frac{{dc}}{a} + \frac{{ac}}{d} &\ge 2c.
\end{aligned} $

Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
daylight (26-05-2011), hizact (25-05-2011)
Old 26-05-2011, 08:58 AM   #252
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Bài 100:

Cho a,b,c >0
Cm:
$ \frac{(a+1)^3}{b^2}+\frac{(b+1)^3}{c^2}+\frac{(c+1 )^3}{a^2} +\frac{(a+b+c)^2}{27} \geq 11+6\sqrt{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: daylight, 26-05-2011 lúc 09:01 AM
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-05-2011, 09:42 AM   #253
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG View Post
Cho $a,b,c,d $ là các số dương. Chứng minh
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 2+\frac{b+d}{c+a}+\frac{c+a}{b+d} $
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da}=2+\frac{a+c}{b+d}+ \frac{b+d}{a+c}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The love makes us stronger!

Võ Quốc Bá Cẩn
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-05-2011, 10:11 AM   #254
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi can_hang2008 View Post
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da}=2+\frac{a+c}{b+d}+ \frac{b+d}{a+c}. $
Hì hì. Ý đồ của em chỉ là làm mạnh bài cơ bản.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 26-05-2011 lúc 10:17 AM
Nguyenhuyen_AG is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 30-05-2011, 04:10 PM   #255
11112222
+Thành Viên+
 
11112222's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: Địch Nhân Kiệt' house
Bài gởi: 55
Thanks: 15
Thanked 10 Times in 9 Posts
Bài 101. Cho $a,b,c $ là các số thực dương . Chứng minh rằng
$\frac{2a+b}{2a+c}+ \frac{2b+c}{2b+a} + \frac{2c+a}{2c+b} \ge 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Zip

thay đổi nội dung bởi: 11112222, 30-05-2011 lúc 06:03 PM Lý do: LaTeX
11112222 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:09 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 109.54 k/126.19 k (13.19%)]