Bài toán về nguyên lí Dirichlet

akinomizu · 11-05-2012, 10:09 AM

Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong hình chữ nhật kích thước 2x3. Chứng minh rằng trong 19 điểm đã cho có 3 điểm nằm trong hình tròn bán kính $\frac{3}{4} $ và tạo thành tam giác có ít nhất một góc không vượt quá $45^{\circ} $

minhnvse02513 · 11-05-2012, 10:57 AM

Trích:

Nguyên văn bởi akinomizu

Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong hình chữ nhật kích thước 2x3. Chứng minh rằng trong 19 điểm đã cho có 3 điểm nằm trong hình tròn bán kính $\frac{3}{4} $ và tạo thành tam giác có ít nhất một góc không vượt quá $45^{\circ} $

Chia bảng thành 6 hình vuông 1x1. Theo nguyên kí Dirichlet tồn tại 4 điểm thuộc cùng 1 hình vuông (hình vuông có đường chéo là $\sqrt{2}< \frac{3}{2} $) Như vậy 4 điểm này đều nằm trong 1 hình tròn đường kính $\frac{3}{2} $. Rõ ràng từ 4 điểm náy có 3 điểm tạo thành 1 góc không quá $45^{\circ} $
(Có thể dùng bao lồi để chứng minh)

iron-army · 11-05-2012, 11:03 AM

Mình giải như sau: chia hình chữ nhật thành 6 hình vuông đơn vị. Do có 19 điểm nên có một hình vuông chứa ít nhất 4 điểm. Đường tròn ngoại tiếp hình vuông này chứa 4 điểm và có bán kính [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}[ /TEX] nhỏ hơn ba phần tư.
Ta chứng minh trong các góc tạo bởi 4 điểm có ít nhất một lớn hơn hoặc bằng 90 độ. Cái này đơn giản, chỉ cần chia trường hợp tứ giác lồi hoặc không lồi. Giả sử [TEX]\widehat{BAC}\geq 90^{\circ}[ /TEX] thì ít nhất một trong hai góc còn lại của tam giác ABC không quá 45 độ.

11-05-2012, 10:09 AM	#1
akinomizu +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 30 Thanks: 11 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bài toán về nguyên lí Dirichlet Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong hình chữ nhật kích thước 2x3. Chứng minh rằng trong 19 điểm đã cho có 3 điểm nằm trong hình tròn bán kính $\frac{3}{4} $ và tạo thành tam giác có ít nhất một góc không vượt quá $45^{\circ} $

11-05-2012, 11:03 AM	#3
iron-army +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: THPT chuyên Khoa học tự nhiên Bài gởi: 12 Thanks: 14 Thanked 1 Time in 1 Post	Mình giải như sau: chia hình chữ nhật thành 6 hình vuông đơn vị. Do có 19 điểm nên có một hình vuông chứa ít nhất 4 điểm. Đường tròn ngoại tiếp hình vuông này chứa 4 điểm và có bán kính [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}[ /TEX] nhỏ hơn ba phần tư. Ta chứng minh trong các góc tạo bởi 4 điểm có ít nhất một lớn hơn hoặc bằng 90 độ. Cái này đơn giản, chỉ cần chia trường hợp tứ giác lồi hoặc không lồi. Giả sử [TEX]\widehat{BAC}\geq 90^{\circ}[ /TEX] thì ít nhất một trong hai góc còn lại của tam giác ABC không quá 45 độ.