Tìm GTLN của biểu thức ba biến

hong.qn · 25-04-2013, 07:21 AM

Cho ba số thực không âm $x,y,z $ thỏa mãn:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2 $

Hãy tìm GTLN của $M=xyz $

levanquy · 25-04-2013, 09:21 AM

Ta có $\frac{1}{1+x}=2-\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\geq2\sqr t{\frac{yz}{(1+y)(1+z)}}$
nhân các bđt tương tự ta được $xyz \leq\frac{1}{8}$

levietbao · 25-04-2013, 09:24 AM

Từ giả thiết ta có
$\frac{1}{1+x}=\left ( 1-\frac{1}{1+y} \right )+\left (1-\frac{1}{1+z} \right )= \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z} \quad (1)$
Tương tự ta cũng có
$\frac{1}{1+y}=\left ( 1-\frac{1}{1+x} \right )+\left (1-\frac{1}{1+z} \right )= \frac{x}{1+x}+\frac{z}{1+z} \quad (2)$
$\frac{1}{1+z}=\left ( 1-\frac{1}{1+y} \right )+\left (1-\frac{1}{1+x} \right )= \frac{y}{1+y}+\frac{x}{1+x} \quad (3)$
Áp dụng AM-GM cho $(1)$ ta được
$\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\geq 2\sqrt{\frac{y}{1+y}\frac{z}{1+z}}\quad (4)$
Tương tự cho $(2)$ và $(3)$
$\frac{1}{1+y}\geq 2\sqrt{\frac{x}{1+x}\frac{z}{1+z}}\quad (5)$
$\frac{1}{1+z}\geq 2\sqrt{ \frac{y}{1+y}\frac{x}{1+x}}\quad (6)$
Nhân các vế của các bất đẳng thức $(4),(5),(6)$ ta được
$\frac{1}{1+x}\frac{1}{1+y}\frac{1}{1+z}\geq 8\frac{x}{1+x}\frac{y}{1+y}\frac{z}{1+z}\iff xyz\leq \dfrac{1}{8}$
Vậy giá trị lớn nhất của $xyz$ là $\frac{1}{8}$

25-04-2013, 07:21 AM	#1
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Tìm GTLN của biểu thức ba biến Cho ba số thực không âm $x,y,z $ thỏa mãn: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2 $ Hãy tìm GTLN của $M=xyz $ __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011"

25-04-2013, 09:24 AM	#3
levietbao +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 359 Thanks: 104 Thanked 1,212 Times in 214 Posts	Từ giả thiết ta có $\frac{1}{1+x}=\left ( 1-\frac{1}{1+y} \right )+\left (1-\frac{1}{1+z} \right )= \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z} \quad (1)$ Tương tự ta cũng có $\frac{1}{1+y}=\left ( 1-\frac{1}{1+x} \right )+\left (1-\frac{1}{1+z} \right )= \frac{x}{1+x}+\frac{z}{1+z} \quad (2)$ $\frac{1}{1+z}=\left ( 1-\frac{1}{1+y} \right )+\left (1-\frac{1}{1+x} \right )= \frac{y}{1+y}+\frac{x}{1+x} \quad (3)$ Áp dụng AM-GM cho $(1)$ ta được $\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\geq 2\sqrt{\frac{y}{1+y}\frac{z}{1+z}}\quad (4)$ Tương tự cho $(2)$ và $(3)$ $\frac{1}{1+y}\geq 2\sqrt{\frac{x}{1+x}\frac{z}{1+z}}\quad (5)$ $\frac{1}{1+z}\geq 2\sqrt{ \frac{y}{1+y}\frac{x}{1+x}}\quad (6)$ Nhân các vế của các bất đẳng thức $(4),(5),(6)$ ta được $\frac{1}{1+x}\frac{1}{1+y}\frac{1}{1+z}\geq 8\frac{x}{1+x}\frac{y}{1+y}\frac{z}{1+z}\iff xyz\leq \dfrac{1}{8}$ Vậy giá trị lớn nhất của $xyz$ là $\frac{1}{8}$ __________________ Tài liệu toán nam9921[at]gmail.com trong đó [at] là @ https://www.facebook.com/SachTailieuLuanvan/ Tài liệu tham khảo, các luận văn, luận án. Война И MИP thay đổi nội dung bởi: levietbao, 25-04-2013 lúc 09:49 AM

25-04-2013, 09:21 AM	#2
levanquy +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: Quảng Ngãi Bài gởi: 129 Thanks: 35 Thanked 58 Times in 48 Posts	Ta có $\frac{1}{1+x}=2-\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\geq2\sqr t{\frac{yz}{(1+y)(1+z)}}$ nhân các bđt tương tự ta được $xyz \leq\frac{1}{8}$