Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2014

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-01-2014, 11:26 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,155
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
[VMO 2014] Bài 1 - Giải tích

Bài 1.
Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\
& x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
hochoi1323 (03-01-2014), liverpool29 (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014), thiendienduong (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 11:34 AM   #2
hansongkyung
+Thành Viên+
 
hansongkyung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 108
Thanked 406 Times in 240 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài 1.
Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\
& x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n \le 1 \le y_n$ từ đó suy ra được dãy $(x_n)$ giảm và $(y_n)$ tăng và chúng đều bị chặn
Mình là một thằng ngu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Trương Mạnh Hùng, lớp 12A1, THPT Mai Sơn, Sơn La.

thay đổi nội dung bởi: hansongkyung, 03-01-2014 lúc 11:43 AM
hansongkyung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hansongkyung For This Useful Post:
High high (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 11:41 AM   #3
DogLover
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gởi: 13
Thanks: 9
Thanked 12 Times in 7 Posts
Công thức tổng quát: $$x_{n} = 2sin\frac{\pi}{3.2^n}, y_{n}=2cos\frac{\pi}{3.2^n}$$
Từ đó suy ra $lim x_{n}=0, lim y_{n} =2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: DogLover, 03-01-2014 lúc 11:44 AM
DogLover is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 11:42 AM   #4
12121993
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 81
Thanks: 23
Thanked 70 Times in 41 Posts
Bài này đặt $x_1=2sin \frac{\pi}{6}, y_1=2cos \frac{\pi}{6}$. Quy nạp ra được $x_n=2sin \frac{\pi}{3.2^n}, y_n=2cos \frac{\pi}{3.2^n}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: 12121993, 03-01-2014 lúc 11:53 AM
12121993 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 12121993 For This Useful Post:
thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 11:43 AM   #5
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hansongkyung View Post
Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n \ge 1 \ge y_n$ từ đó suy ra được dãy $(x_n)$ giảm và $(y_n)$ tăng và chúng đều bị chặn
Mình là một thằng ngu
Lộn rồi kìa $x_n<1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 11:58 AM   #6
liverpool29
+Thành Viên+
 
liverpool29's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hue
Bài gởi: 348
Thanks: 425
Thanked 561 Times in 237 Posts
Chứng minh bằng quy nạp ta có $y_n=\sqrt{y_{n-1}+2}$, từ đây kết hợp với $y_n$ bị chặn trên bởi $2$ suy ra nó hội tụ và $limy_n=2$ từ đó suy ra $limx_n=0$
Có ai làm giống em không ạ?

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY

"Don't try your best. Do your best."
liverpool29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to liverpool29 For This Useful Post:
thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 12:18 PM   #7
TrauBo
Moderator
 
TrauBo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club)
Bài gởi: 1,058
Thanks: 937
Thanked 1,249 Times in 433 Posts
Chứng minh $(x_n), (y_n)$ đơn điệu thế nào vậy các đồng chí
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TrauBo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 12:21 PM   #8
tmp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 141
Thanks: 25
Thanked 15 Times in 12 Posts
Vậy bài 1 LGH là đúng bài nhất !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tmp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 12:26 PM   #9
halamadrid
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gởi: 24
Thanks: 0
Thanked 8 Times in 5 Posts
Mình chứng minh qui nạp là $y_{n+1}=\sqrt{y_n+2},x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}$ xong từ đấy tìm lim $y_n$. không nhìn ra cái lượng giác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
halamadrid is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to halamadrid For This Useful Post:
Kém Toán (03-01-2014), thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 12:30 PM   #10
ahhungah
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Mình tưởng 2 cái lim=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ahhungah is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 01:19 PM   #11
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài 1.
Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align}
& {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\
& x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Cách suy luận:
Đầu tiên khử $y_n$ ta được dãy $(x_n)$ như sau:
$x_1=1; x_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}; x_{n+1}(2-x_{n+2}^2)=x_n$ với mọi $n \ge 1$.
Quan sát $x_2$ thấy có $\sqrt{3}$, $2$ nên liên tưởng đến lượng giác:
$x_2=\sqrt{2(1-\cos \dfrac{\pi}{6})}=2\sin \dfrac{\pi}{12}$.
Như vậy viết lại
$x_1=2\sin \dfrac{\pi}{6}$.
Thay vào tính $x_3$ được
$2-x_3^2=2\cos \dfrac{\pi}{12}$.
Rút ra
$x_3=2\sin \dfrac{\pi}{24}$.
Từ đó phán đoán $P(n): x_n=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^n}$ là mệnh đề đúng với $n \in \mathbb{N}^{*}$.
Ta sẽ chứng minh $P(n)$ đúng bằng quy nạp mạnh. Thật vậy:
+) Rõ ràng $P(1), P(2)$ đúng.
+) Giả sử $P(1); P(2);...;P(k+1)$ đúng ($k \in \mathbb{N}$). Ta sẽ chứng minh $P(k+2)$ đúng.
Thật vậy, theo công thức tổng quát:
$x_{k+1}(2-x_{k+2}^2)=x_k$.
Suy ra
$2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}(2-x_{k+2}^2)=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^k}$.
Áp dụng công thức $\sin 2x= 2 \sin x \cos x$ ta có
$2-x_{k+2}^2=2\cos \dfrac{\pi}{3.2^{k+1}}$.
Chuyển vế áp dụng công thức $1-\cos 2x=2 \sin^2x$ ta có
$x_{k+2}=2\sin \dfrac{\pi}{3.2^{k+2}}$ hay $P(k+2)$ đúng.
Vậy $P(n)$ đúng, từ đó tìm được đáp số.
Chú ý: Đề cho dãy dương nên các phép biến đổi trên mới đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
https://www.facebook.com/thaygiaocht

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 03-01-2014 lúc 02:04 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
hakudoshi (03-01-2014), hongson_vip (03-01-2014), vutuanhien (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 04:28 PM   #12
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi thaygiaocht View Post
Đầu tiên khử $y_n$ ta được dãy $(x_n)$ như sau:
$x_1=1; x_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}; x_{n+1}(2-x_{n+2}^2)=x_n$ với mọi $n \ge 1.$
Đến đây rồi có ai chứng minh $(x_n)$ giảm giống mình không
$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$
$1=x_1>x_2>x_3>...$

Có $(x_n)$ giảm rồi xét hiệu $y_{n+1}-y_n=x_{n+1}^2-x_{n+2}^2>0$
nên suy ra $(y_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.

thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 03-01-2014 lúc 04:34 PM
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to hakudoshi For This Useful Post:
thaygiaocht (03-01-2014)
Old 03-01-2014, 04:38 PM   #13
tmp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 141
Thanks: 25
Thanked 15 Times in 12 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi halamadrid View Post
Mình chứng minh qui nạp là $y_{n+1}=\sqrt{y_n+2},x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}$ xong từ đấy tìm lim $y_n$. không nhìn ra cái lượng giác
do số căn bậc 2 của 3,thì nghĩ là LG thôi mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tmp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 04:41 PM   #14
ahhungah
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$

từ đây bấm máy tính nó ra lim=1 nè mọi người
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ahhungah is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2014, 05:02 PM   #15
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ahhungah View Post
$x_{n+2}^2=2-\dfrac{x_n}{x_{n+1}}$

từ đây bấm máy tính nó ra lim=1 nè mọi người
Ủa đâu cho xài máy tính đâu sao mà bấm hay thế

Bài này lạ nhỉ
Nhìn có vẻ giới hạn bằng 1 nhưng thực ra giới hạn lại bằng 0. Chưa bao giờ gặp trường hợp như vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.

thay đổi nội dung bởi: hakudoshi, 03-01-2014 lúc 05:08 PM
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:44 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 100.30 k/116.88 k (14.19%)]