Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 17-11-2017, 04:52 PM   #1
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Cyclotomic polynomial

Cho p là số nguyên tố dạng 4n+1. Thì $ \frac{x^{p}-1}{x-1}=U^{2}(x)-p.x.V^{2}(x) $
$ U(x),V(x) $ có hệ số nguyên

Trước khi đến với mục này các bạn phải dùng đến kiến thức của lý thuyết Galois
$ Z_{n} $={$(i/(i,n)=1,0<i<n) $. $ Z_{n} $} là nhóm với phép nhân modulo n có $ \phi(n)$ phần tử, $ \epsilon =cos(\frac {2\pi}{n})+i sin(\frac {2\pi}{n})$
Cyclotomic polynomial là đa thức được định nghĩa: $\Pi (x-\epsilon^{k}) ,k $ thuộc $ Z_{n} $.Đa thức này là đa thức bất khả quy trên Z
Nên nhắc lại đến ký hiệu Jacobi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 17-11-2017 lúc 05:23 PM Lý do: Tự động gộp bài
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-11-2017, 01:58 PM   #2
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 188
Thanks: 105
Thanked 508 Times in 146 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Cho p là số nguyên tố dạng 4n+1. Thì $ \frac{x^{p}-1}{x-1}=U^{2}(x)-p.x.V^{2}(x) $
$ U(x),V(x) $ có hệ số nguyên

Trước khi đến với mục này các bạn phải dùng đến kiến thức của lý thuyết Galois
$ Z_{n} $={$(i/(i,n)=1,0<i<n) $. $ Z_{n} $} là nhóm với phép nhân modulo n có $ \phi(n)$ phần tử, $ \epsilon =cos(\frac {2\pi}{n})+i sin(\frac {2\pi}{n})$
Cyclotomic polynomial là đa thức được định nghĩa: $\Pi (x-\epsilon^{k}) ,k $ thuộc $ Z_{n} $.Đa thức này là đa thức bất khả quy trên Z
Nên nhắc lại đến ký hiệu Jacobi
Viết rõ ra đi cu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-01-2018, 01:24 PM   #3
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Ta xét mở rộng trường với căn nguyên thủy L->L .Xét tự đẳng cấu của L/Q như sau
$ \phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ và $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ trong đó $ x,y\in L$
còn nếu $x\in Q$ thì $\phi(x)=x$ gọi là bất biến trên Q
Một tự đẳng cấu như vậy nếu x là nghiệm đa thức bất khả quy tối tiểu bậc k thì $\phi(x)$ cũng là đa thức tối tiểu của đa thức đó.Các bạn có thể chứng minh một cách dễ dàng,bằng sử dụng tính đồng cấu
Nghiệm của đa thức $x^{n}-1=0$ có nghiệm là $\epsilon^{k}$ với $ k \in N ,k<n$ nó bao hàm hết các nghiệm của đa thức $x^{n}-1=0$
Tuy nhiên đa thức tối tiểu nhận $\epsilon$ là nghiệm không cần bậc cao đến n
Vừa rồi có vẻ văn hoa một chút cho đỡ nhàm chán ,chúng ta xem các tự đồng cấu trường nghiệm căn nguyên thủy bậc n là $\phi(\epsilon)=\epsilon^{k} $ khi nào là đẳng cấu nó chuyển trường từ $L=Q(\epsilon)->L$
Gọi a=UCLN(n,k) mà a>1 thì n=ab,k=ac $b,c \in N$ khi đó $\phi(\epsilon^{b})=\epsilon^{kb}=\phi(\epsilon^{a bc})=\phi(\epsilon^{nc})=\phi(1)=1 => \epsilon^{b}=1$ là vô lý do tính đẳng cấu.Điều đó cho rằng $\phi $ là tự đẳng cấu khi và chỉ khi UCLN(k,n)=1
Vậy ta tính được có chính xác $\Phi(n)$ hàm phi ơ le các tự đẳng cấu từ L->L
Bởi vậy ta có đa thức tối tiểu nhận $\epsilon $ là nghiệm là đa thức $\Phi_{n}(x)=\Pi(x-\epsilon^{k}),k \in N,(k,n)=1,0<k<n$ gọi là đa thức Cyclotomic polynomial
Nói thêm đa thức này là ước của đa thức $x^{n}-1=0$ có hệ số nguyên,do là đa thức tối tiểu nên nó là đa thức bất khả quy trên Q có bậc $\Phi(n)$

Chúng ta đã tìm được đa thức tối tiểu nhận $\epsilon$ là nghiệm,chứng minh một cách khá chi tiết.Với người học hết năm thứ hai đại học đều phải học qua lý thuyết nhóm ,tôi chỉ quan tâm nhóm sau gọi là $Z(n)=$ {$k\in N ,0<k<n,(k,n)=1$}.Nhóm này có cấp là $\Phi(n)$ nghĩa là có $\Phi(n)$ phần tử
Xét nhóm con H(n)={$ k\in N ,0<k<n,k=a^{2}(mod $ n),Chỉ số $\Phi(n):H(n)=2 $
Gọi K là trường bất biến với các phép tự đẳng cấu của nhóm H(n) ,vậy thì K:Q=2 lúc đó $\Phi_{n}(x)=R(x)S(x)$ trong đó $R(x),S(x)$ là các đa thức với hệ số trên trường K là nghiệm các đa thức có dạng $x^{2}+ax+b=0$,a,b là các số nguyên
Nhận thấy $\frac{x^{n}-1}{x-1}=\Pi(x-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<n}=\Pi(x-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}\Pi(x-\epsilon^{-k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}$
Cho x=1 thì $n=\Pi(1-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}\Pi(1-\epsilon^{-k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}$ (*)
Với n lẻ thì $(1-\epsilon^{k})(1-\epsilon^{-k})=(1-\epsilon^{k})^{2}\epsilon^{-k}=-(1-\epsilon^{k})^{2}\epsilon^{(n-1)k}=-(1-\epsilon^{k})^{2}(\epsilon^{\frac{(n-1)k}{2}})^{2}$
Từ (*) ta có $n=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\Pi(1-\epsilon^{k})^{2}(\epsilon^{\frac{(n-1)k}{2}})^{2}_{k\in N ,0<k<\frac{n}{2}}$
Kết quả bất ngờ $\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n }\in K$ Biệt thức $\Delta $ của phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có dạng $c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$ trong đó $c,d \in Z$ Và do đó hệ số đa thức R(x),S(x) có dạng $\frac{a+b\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n }}{2}$ trong đó $a,b \in Z$
Đến hôm nay tôi chỉ rõ là $R(x)=\Pi (x-\epsilon^{k})_{k\in H(n)}$.Mỗi hệ số trong đó đều thuộc trường K là nghiệm của phương trình đa thức $x^{2}+ax+b=0$ có hệ số bậc cao nhất là 1, biệt thức $\Delta=c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$ trong đó c,d là số nguyên,vì vậy mà hệ số trong R(x) đều có dạng $\frac{c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}}{2}$ c,d là các số nguyên
Từ đó ta có $4\Phi_{n}(x)=R(x)S(x)$ mỗi hệ số trong R(x) và S(x) có dạng $c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$
Cuối cùng là $R(x)=A(x)+\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}B(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức với hệ số nguyên A(x) có hệ số bậc cao nhất là 1
$S(x)=C(x)+\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}D(x)$ trong đó C(x),D(x) là đa thức với hệ số nguyên C(x) có hệ số bậc cao nhất là 1,Bậc đa thức A(x) và C(x) có bậc bằng nhau và bằng $\frac{\Phi(n)}{2}$
Vì \[\begin{array}{l}
4{\Phi _n}(x) &= R(x)S(x)\\
&= \left( {A(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} B(x)} \right)\left( {C(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} D(x)} \right)\\
&= A(x)C(x) + {( - 1)^{\frac{{n - 1}}{2}}}nB(x)D(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} \left( {A(x)D(x) + B(x)C(x)} \right).
\end{array}\]
Từ hệ số nguyên của $4\Phi_{n}(x)$ mà $A(x)D(x)+B(x)C(x)=0$ vì thế $A(x)=C(x),D(x)=-B(x)$
Vậy là $4\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nB^{2}(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức có hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 18-01-2018 lúc 09:32 AM Lý do: Tự động gộp bài
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post:
2M (19-01-2018), tmp (07-04-2018), vnt.hnue (24-01-2018)
Old 18-01-2018, 12:29 PM   #4
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Ta có $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$,đặt $n'=(-1)^{\frac{n-1}{2}}n$.Mà $\sqrt {-n'}\in Q(\epsilon_{4n})$ nhưng $\sqrt {-n'}\notin Q(\epsilon_{n})$ Trong sự kiện này ta có $\Phi_{4n}(x)=(R(x)+\sqrt {-n'}S(x))(R(x)-\sqrt {-n'}S(x))=R^{2}(x)+n'S^{2}(x)$
Đặt {$Z'=x\in \Phi_{4n},(\frac{x}{n})\equiv x (mod $ 4)} .Trong đó R(x),S(x) có các hệ số là nguyên đại số $Z(\sqrt {-n'})$ nhưng vì $-n'\equiv 3 (mod $ 4).Do vậy R(x),S(x) là các đa thức với hệ số nguyên,biết đa thức $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$ là đa thức chẵn do đó có ác trường hop
Trường hợp 1:$R(-x)+\sqrt {-n'}S(-x)=R(x)+\sqrt {-n'}S(x)$ Do đó R(x),S(x) là các đa thức chẵn và $R(x)=A(x^{2}),S(x)=B(x^{2})$
lúc đó $\Phi_{n}(-x^{2})=A^{2}(x^{2})+n'B^{2}(x^{2})$ hay $\Phi_{n}(-x)=A^{2}(x)+n'B^{2}(x)$ Khi đó $\sqrt {-n'}\in Q(\epsilon_{n})$ đó là vô lý
Trường hợp 2:$R(-x)+\sqrt {-n'}S(-x)=R(x)-\sqrt {-n'}S(x)$ Đa thức S(x) là hàm lẻ $S(x)=xB(x^{2})$,R(x) là hàm chẵn $R(x)=A(x^{2})$
Vậy là $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})=A^{2}(x^{2})-n'x^{2}B^{2}(x^{2})$ hay $\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nxB^{2}(x)$ A(x),B(x) là đa thức với hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 18-01-2018 lúc 01:22 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post:
2M (19-01-2018), vnt.hnue (24-01-2018)
Old 18-01-2018, 12:59 PM   #5
Krishna
+Thành Viên+
 
Krishna's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Bài gởi: 8
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Vậy là $4\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nB^{2}(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức có hệ số nguyên
Chủ đề bạn zinxinh đang trình bày, có lẽ là công thức Gauss-Lucas về đa thức chia đường tròn. Mình gửi 2 link sau cũng nói về chủ đề này cho mọi người cùng tham khảo nhé.

[Only registered and activated users can see links. ]

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Krishna, 18-01-2018 lúc 01:01 PM
Krishna is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Krishna For This Useful Post:
zinxinh (18-01-2018)
Old 18-01-2018, 01:28 PM   #6
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Một ứng dụng nho nhỏ $\Phi_{n}(nx^{2})=A^{2}(nx^{2})-(nx)^{2}B^{2}(nx^{2})$ với n là số lẻ không có ước chính phương lớn hơn 1, $ n\equiv 1( mod $ 4).Kết quả là $\frac {p^{pn}-1}{p^{n}-1}$ là hợp số với $ p\equiv 1( mod $ 4),p là số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 18-01-2018 lúc 02:47 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to zinxinh For This Useful Post:
2M (19-01-2018), MATHSCOPE (18-01-2018)
Old 19-01-2018, 11:01 AM   #7
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
N là số nguyên dương lẻ ,gọi $\omega_{2n}$ là căn nguyên thủy bậc 2n,do vậy mà $\omega_{2n}^{n}=-1$ Bởi $\omega_{2n}^{2n}=1$ và $\omega_{2n}^{n}\neq 1$.Do đó $\omega_{2n}=-\omega_{n}$ ,$|\Phi(2n)|=|\Phi(n)|$=>$\Phi_{2n}(x)=\Pi (x-\omega_{2n}^{k})$trong đó $k\in H(2n)$,$\Phi_{n}(x)=\Pi (x-\omega_{n}^{k})$trong đó $k\in H(n)$ .Do vậy $\Phi_{2n}(x)=\Phi_{n}(-x)$
$\omega_{4n}$ và $-\omega_{4n}$ đều là nghiệm tối tiểu của đa thức $\Phi_{4n}(x)$,$\omega_{4n}^{2}=\omega_{2n}$.Do vậy $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 19-01-2018 lúc 11:39 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-01-2018, 01:02 PM   #8
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 188
Thanks: 105
Thanked 508 Times in 146 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Một ứng dụng nho nhỏ $\Phi_{n}(nx^{2})=A^{2}(nx^{2})-(nx)^{2}B^{2}(nx^{2})$ với n là số lẻ không có ước chính phương lớn hơn 1, $ n\equiv 1( mod $ 4).Kết quả là $\frac {p^{pn}-1}{p^{n}-1}$ là hợp số với $ p\equiv 1( mod $ 4),p là số nguyên tố.
Chủ đề của zin xinh quá , có một bài tập nom rất sơ cấp như này có liên quan

Bài toán. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức hai biến $P(x;\,y)$ và $Q(x;\,y)$ thoả mãn
\[\frac{{{x^{2017}} + {y^{2017}}}}{{x + y}} = \frac{{{P^2}\left( {x;\, y} \right) - p{Q^2}\left( {x;\, y} \right)}}{4}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 2M For This Useful Post:
buratinogigle (19-01-2018)
Old 20-01-2018, 07:51 AM   #9
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Xét $Z'=x\in \Phi (4n) $ sao cho $(\frac{x}{n})=x (mod )$4) .Gọi $J(x)=x (mod$4).g(x)=$(\frac{x}{n})J(x)$ đây là hàm nhân tính
có nghĩa là g(x)g(y)=g(xy).Đồng cấu nhóm g chuyển từ $\Phi(4n)$->{1,-1}.Xét nhóm con $Z'=g^{-1}(1)$ là nhóm con của $\Phi(4n)$ có chỉ số $\Phi(4n)$ :Z'=2 cấp của Z' là $\phi (n)$
Xét trường con bất biến K trong các phép tự đẳng cấu Z',nên [K:Q]=2 ,điểu đó nói lên rằng trường K là mở rộng bậc hai trên Q.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 20-01-2018 lúc 08:24 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-04-2018, 01:17 PM   #10
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Bài 3 TST có nội dung bản chất lý thuyết nhóm.Vì nhóm phi(n) luôn là cấp chẵn nên luôn có nhóm con sylow cấp 2^m vì vậy mà luôn tách được phi(2^m) .Do đó bài toán này thành đơn giản dạng x^a +1 là đa thức Cyclotomic polynomial cấp 2^m.Vì vậy mà có cách chứng minh rất đơn giản bằng các nghiệm nguyên thủy.Tôi đang xem xét có bao nhiêu đa thức kiểu như vậy,vấn đề này đốt thời gian mấy tuần liền
Nhóm phi(n) ta luôn kiểm soát được cấu trúc nhóm của nó.Nhóm các đồng dư thức theo phép nhân.Đa thức đã cho bất biến qua phép nhóm đặc trưng dirichle
các bạn có thể xem ở đây [Only registered and activated users can see links. ] .Kỹ thuật đồng dư thức hoàn toàn thực hiện được.Tránh luôn cấu trúc nhóm này trình bày trong bài thi.Bản chất đa thức đã cho bất biến qua phép đổi nhóm galois đa thức Cyclotomic polynomial
Bản chất bài này thuần túy số học ,không phải bài toán đại số mà chúng ta vẫn nghĩ.Mà nói toạc móng heo ta chứng minh trực tiếp được đa thức đã cho có nhân tử x^a+1 khi nhóm một cách hợp lý
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 05-04-2018 lúc 01:28 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-04-2018, 07:57 AM   #11
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Xét tập $H_{n}=(a_{1}=1<..<a_{k}=n-1)$ tập các số nguyên dương bé hơn n và nguyên tố với n.Gọi i là số nguyên dương sao cho $a_{i+1}-a_{i}$ nhỏ nhất .Với mỗi số nguyên dương m tồn tại $c\in H_{n}$ sao cho $ca_{i}=a_{m},ca_{i+1}=a_{m'}$ nếu thế thì $|a_{i+1}-a_{i}|=|c(a_{m'}-a_{m})|\geq |a_{m'}-a_{m}|\geq min (|a_{m+1}-a_{m}|,|a_{m}-a_{m-1}|)\geq |a_{i+1}-a_{i}|$.Điều này chỉ đúng khi $a_{2}-a_{1}=a_{4}-a_{3}=...=a_{k}-a_{k-1}=a$.Đa thức đề bài dễ dàng có được là $(1+x^{a})Q(x)$ trong đó $Q(x) $ là đa thức với hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 17-04-2018 lúc 08:42 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-04-2018, 08:59 AM   #12
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
[QUOTE=zinxinh;213624]Bài 3 TST có nội dung bản chất lý thuyết nhóm.Vì nhóm phi(n) luôn là cấp chẵn nên luôn có nhóm con sylow cấp 2^m vì vậy mà luôn tách được phi(2^m)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-04-2018, 05:26 PM   #13
beyondinfinity
+Thành Viên+
 
beyondinfinity's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 456
Thanks: 64
Thanked 215 Times in 143 Posts
Key của bài đầu tiên có vẻ là $\mathbb{Q}[\varepsilon,\sqrt{p}] = \mathbb{Q}[\varepsilon]$ khi $p=4k+1$ ($\phi_p(1)=p$, ghép cặp $(1-\varepsilon^i)(1-\varepsilon^{-i})=-\frac{(1-\varepsilon^i)^2}{\varepsilon^i}$, đổi giữa $i$ và $p-i$ để được số chính phương và $(-1)^{(p-1)/2}=1$) dẫn đến mở rộng Galois chứa $\varepsilon\sqrt{p}$ có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $p-1$, nên cơ bản sẽ xây dựng được một kiểu $(a(x)+\sqrt{p}b(x))(a(x)-\sqrt{p}b(x))$ của hai đa thức cực tiểu của $\varepsilon\sqrt{p}$ và $-\varepsilon\sqrt{p}$.
Hiện tượng này giống như $\frac{x^{2p}-1}{x^2-1}$ trong $\mathbb{Q}$ sẽ có 1 phân tích $\phi_{2p}\phi_{p}$ nhưng khi đưa vào $\mathbb{Q}[\sqrt{p}]$ với $p=4k+1$ thì lại có thêm một phân tích nữa (ví dụ $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ hay được đưa ra cho miền không UFD).
Ngoài ra có một cái khá vui nhưng mình không dùng là nhóm con các số chính phương mod $p$ của $Gal(\mathbb{Q}[\varepsilon]/\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Z}_{p-1}$ sẽ sinh ra một mở rộng con $K$ bậc $\frac{p-1}{2}$ của $\mathbb{Q}$ và $Gal(\mathbb{Q}[\varepsilon]/K)\simeq \mathbb{Z}_2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: beyondinfinity, 19-04-2018 lúc 05:41 PM
beyondinfinity is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-04-2018, 10:30 AM   #14
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 61
Thanked 67 Times in 43 Posts
Ý tôi muốn trình bày về giải tích điều hòa,từ một nhóm abel G vào các điểm đường tròn đơn vị trong hình học phức.Phân tích nhóm các đồng cấu này gọi là nhóm đối ngẫu.Còn mục nhỏ của nó xoay quanh đặc trưng dricle và gaus để bên các giáo viên trường chuyên có thể hiểu được.Phân tích nhóm Cyclotomic polynomial cấp $2^{n}$ chính là đề bài 3 TST .Nhưng sau đó tôi thấy bản chất là xử lý về lý thuyết nhóm,nên có cách giải khác bài toán này.Theo người bạn tôi nhận xét cách giải này khó mở rộng ra hướng mới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-06-2018, 06:55 AM   #15
Thailuan512
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
Bài 3 TST có nội dung bản chất lý thuyết nhóm.Vì nhóm phi(n) luôn là cấp chẵn nên luôn có nhóm con sylow cấp 2^m vì vậy mà luôn tách được phi(2^m) .Do đó bài toán này thành đơn giản dạng x^a +1 là đa thức Cyclotomic polynomial cấp 2^m.Vì vậy mà có cách chứng minh rất đơn giản bằng các nghiệm nguyên thủy.
Đa thức $x^a+1$ đâu có là đa thức chia đường tròn.

Một phản ví dụ cho ý kiến của bạn là với $n=21$, khi đó nhóm nhân theo modulo 21 là $$U_{21}=\{1,\,2,\,4,\,5,\,8,\,10,\,11,\,13,\,16,\ ,17,\,19,\,20\}.$$Nhóm này có nhóm con Sylow cấp 4 là $\mathcal S_4=\{1,\,8,\,13,\,20\}$, nhưng đa thức $P_{21}(x)=\sum\limits_{k \in {\mathcal S_4}} {{x^{k - 1}}}$ không có nhân tử là $x^4+1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thailuan512 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:48 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 104.27 k/120.82 k (13.70%)]