Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2010-2011 - Lời giải và bình luận

[novae]

Nguyên văn bởi shinomoriaoshi

Bài 16:
a. KM cắt (C) tại J. Xét phép vị tự biến đường tròn $(C_1) $
thành đường tròn (C). Khi đó điểm M sẽ biến thành điểm J và AB sẽ biên thành tiếp tuyến tại J của đường tròn (C), do đó. J là điểm chình giữa cung AB của đường tròn (C).
Tương tự NM cũng đi qua điểm J.
Qua J, vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (C)
Vậy $\hat{HNB}=\hat{HJx}=\hat{HKJ}=\hat{HKM} $
Từ đây suy ra MNHK là tứ giác nội tiếp.
b. Ta xét phương tích của J đối với đường tròn $(C_1) $ và $(C_2) $ thì được.
P(J/$(C_1) $)=JM.JK=JN.JH=P(J/$(C_1) $)
Do đó J nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn $(C_1) $ và $(C_2) $.
Mà DI là trục đẳng phương của 2 đường tròn này.
Do đó D, I, J thẳng hàng.
Mà J là điểm chình giữa cung AB nên DI là phân giác $\hat{ADB} $.

Một cách

hơi

khác:
Cũng gọi điểm $J $ như trên.
Vì $J $ là trung điểm cung $AB $ nên ta có $\widehat{AKJ}=\widehat{JAM} $
$\Rightarrow \Delta JAM \sim \Delta JKA $
$\Rightarrow JK.JM=JA^2 $
Tương tự, ta có $JH.JN=JB^2 $
Mà $JA=JB $ do $J $ là trung điểm cung $AB $ nên $JK.JM=JH.JN $ hay 4 điểm $M,N,K,H $ đồng viên.
Từ trên, ta cũng suy ra $J $ nằm trên trục đẳng phương của $(C_1) $ và $(C_2) $, suy ra $D,I,J $ thẳng hàng hay $DI $ là phân giác góc $ADB $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Lời giải cho bài hình 12 (đề Hưng Yên)
Bổ đề: Cho tam giác $ABC $ có góc $A=60^\circ $. Đường thẳng Euler của tam giác $ABC $ cắt các cạnh $AB,AC $ tại $M,N $. Khi đó tam giác $AMN $ đều.
Chứng minh:

Gọi $O,H,E $ lần lượt là tâm ngoại tiếp, trực tâm và tâm Euler của tam giác $ABC $.
Từ giả thiết $A=60^\circ $ ,ta có $AH=AO, IH=IO $. Do đó $A,I,E $ thẳng hàng và tam giác $AHO $ cân tại $A $.
Từ đó suy ra $\Delta MAH = \Delta NAO \Rightarrow AM=AN \Rightarrow \Delta AMN $ đều.
Áp dụng:

Gọi $L,M $ là giao điểm của phân giác ngoài góc $\widehat{AIB} $ với $AF,BC $
Theo giả thiết $AB=CD $ nên $BC \parallel AD \Rightarrow \widehat{EBC}=60^\circ $.
Từ bổ đề ta suy ra $OK \parallel IM $.
Tương tự, ta có $OH \parallel IL $.
Mà $I,L,M $ thẳng hàng nên ta có $O,H,K $ thẳng hàng (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ngocduy1842]

Hình như bài 13 phần Hình học ( Đề chọn đội dự tuyển Bắc Ninh) lấy từ sách nào ra ấy. Bài này đã được đăng từ lâu trên các diễn đàn. Em có cách giải thuần túy, chỉ dùng cạnh và góc. Mong các cao thủ chỉ giáo. [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongant1k21]

Sao chưa thấy ai tổng hợp lại cả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]