Đề thi trường hè Lê Quý Đôn

**mathandyou** · 18-07-2014, 10:54 PM

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
Trường Hè Toán HỌc 2014
Kiểm Tra Chất Lượng
Thời gian: 180, Ngày: 17-07-2014

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $K$ là trực tâm tam giác $IAC$
a. Chứng minh $DK$ vuông góc $IM$
b. Gọi $H,L$ lần lượt là trực tâm tam giác $IBC,IAB$. Gọi $X$ là điểm đối xứng của $D$ qua $IM$ và các điểm $Y,Z$ xác định tương tự. Chứng minh $HX,KY,LZ$ đồng quy

Bài 2:Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ thì luôn có bất đẳng thức:
$$k(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6$$

Bài 3: Tìm $f: [0,+\propto )\rightarrow [0,+\propto )$ thỏa: $f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y))$ với mọi $x,y \geq 0$

Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Gọi $E,F,G$ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng $AB$ và $CD, BC$ và $DA, AC$ và $BD$. Các đường tròn $(DAE), (DCF)$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $H$. Phân giác của góc $AHB$ cắt $AB$ tại $I$, phân giác góc $DHC$ cắt $CD$ tại $J$. Chứng minh $I,G,J$ thẳng hàng

Bài 5: Các số $1,2,...,n^2$ được điền vào bảng kích thước $n$x$n$ theo cách như hình vẽ bên dưới. Ta xóa đi n số từ bảng, sao cho không có hai số nào được xóa cùng hàng cũng như không có hai số nào được xóa cùng cốt. Tìm tổng các số còn lại của bảng

**JokerNVT** · 19-07-2014, 03:59 PM

Trích:

Nguyên văn bởi mathandyou

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
Trường Hè Toán HỌc 2014
Kiểm Tra Chất Lượng
Thời gian: 180, Ngày: 17-07-2014

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $K$ là trực tâm tam giác $IAC$
a. Chứng minh $DK$ vuông góc $IM$
b. Gọi $H,L$ lần lượt là trực tâm tam giác $IBC,IAB$. Gọi $X$ là điểm đối xứng của $D$ qua $IM$ và các điểm $Y,Z$ xác định tương tự. Chứng minh $HX,KY,LZ$ đồng quy

a) Chứng minh $DK$ vuông góc $IM$
Gọi $E$ là giao điểm $AI$ với $KC$, $H$ là giao điểm $KD$ với $IM$, $N$ là giao điểm của $AB$ với $KC$, $S$ là giao điểm của $BC$ và $AK$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AC$, $R$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$.
Từ giả thiết ta suy ra:
*$E,D,I,F,C$ cùng thuộc 1 đường tròn
$\Rightarrow S,D,E,K$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)
*$E$ là trung điểm $CN$
$\Rightarrow ME\parallel BN$
$\Rightarrow \widehat{MEC}=\widehat{ANC}=\widehat{ACN}$
$\Rightarrow \widehat{IEM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$
Mà $\widehat{ISM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$
Từ đây ta suy ra tứ giác $SIME$ nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
b) Chứng minh $HX,LZ,KY$ đồng quy
Chứng minh tương tự như trên ta suy ra $LD \perp IM$
$\Rightarrow K,L,X,D$ thẳng hàng
$D$ đối xứng với $X$ qua $IM$ nên $ID=IX=r$ nên $X$ thuộc đường tròn tâm $I$.
Tương tự cho các trường hợp điểm còn lại
Áp dụng phương tích với đường tròn tâm $I$ cho các điểm $H,K,L$, ta có:
$\dfrac{LX}{LY}.\dfrac{KZ}{KX}.\dfrac{HY}{HZ}= \dfrac{LF}{LD}.\dfrac{KD}{KR}.\dfrac{HR}{HF}$
Mặt khác: $\Delta HKL$ có $HD,LR,KF$ đồng quy tại $I$ nên áp dụng định lý Ceva, ta có:
$\dfrac{LF}{LD}.\dfrac{KD}{KR}.\dfrac{HR}{HF}=1$
$\Rightarrow \dfrac{LX}{LY}.\dfrac{KZ}{KX}.\dfrac{HY}{HZ}=1$
Theo định lý Ceva đảo ta suy ra điều phải chứng minh

hoanghai_vovn · 19-07-2014, 05:55 PM

Ta có$\angle HAE=\angle HDE$ và $\angle HFC=\angle HDE$ nên suy ra $\angle HAE=\angle HFB$ do đó $HFBA$ nội tiếp.
Bằng biến đổi góc đơn giản, ta thu được $\angle HDA=\angle HCB$ và $\angle HAD=\angle HBC$, suy ra $\Delta HAD\sim \Delta HBC$.

Do tc phân giác $HI$ nên $\frac{IA}{IB}=\frac{HA}{HB}$, suy ra $\frac{IA}{IB}=\frac{HA}{HB}=\frac{AD}{BC}=\frac{G A}{GB}$ (do tứ giác nội tiếp).
Suy ra $GI$ là phân giác của góc $AGB$.
tương tự $GJ$ là phân giác của góc $DGC$.
Do đó $I,G,J$ thẳng hàng.

**quocbaoct10** · 19-07-2014, 06:15 PM

Trích:

Nguyên văn bởi JokerNVT

a) Chứng minh $DK$ vuông góc $IM$
Gọi $E$ là giao điểm $AI$ với $KC$, $H$ là giao điểm $KD$ với $IM$, $N$ là giao điểm của $AB$ với $KC$, $S$ là giao điểm của $BC$ và $AK$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AC$, $R$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$.
Từ giả thiết ta suy ra:
*$E,D,I,F,C$ cùng thuộc 1 đường tròn
$\Rightarrow B,D,E,K$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)
*$E$ là trung điểm $CN$
$\Rightarrow ME\parallel BN$
$\Rightarrow \widehat{MEC}=\widehat{ANC}=\widehat{ACN}$
$\Rightarrow \widehat{IEM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$
Mà $\widehat{ISM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$
Từ đây ta suy ra tứ giác $SIME$ nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
b) Chứng minh $HX,LZ,KY$ đồng quy
Chứng minh tương tự như trên ta suy ra $LD \perp IM$
$\Rightarrow K,L,X,D$ thẳng hàng
$D$ đối xứng với $X$ qua $IM$ nên $ID=IX=r$ nên $X$ thuộc đường tròn tâm $I$.
Tương tự cho các trường hợp điểm còn lại
Áp dụng phương tích với đường tròn tâm $I$ cho các điểm $H,K,L$, ta có:
$\dfrac{LX}{LY}.\dfrac{KZ}{KX}.\dfrac{HY}{HZ}= \dfrac{LF}{LD}.\dfrac{KD}{KR}.\dfrac{HR}{HF}$
Mặt khác: $\Delta HKL$ có $HD,LR,KF$ đồng quy tại $I$ nên áp dụng định lý Ceva, ta có:
$\dfrac{LF}{LD}.\dfrac{KD}{KR}.\dfrac{HR}{HF}=1$
$\Rightarrow \dfrac{LX}{LY}.\dfrac{KZ}{KX}.\dfrac{HY}{HZ}=1$
Theo định lý Ceva đảo ta suy ra điều phải chứng minh

Làm sao từ $E,D,I,F,C$ cùng thuộc 1 đường tròn thì lại có thể suy ra (1) vậy anh ?

**JokerNVT** · 19-07-2014, 07:03 PM

Trích:

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Làm sao từ $E,D,I,F,C$ cùng thuộc 1 đường tròn thì lại có thể suy ra (1) vậy anh ?

Anh ghi nhầm $S, D, E,K$ nội tiếp 1 đường tròn

Do $\widehat{KED}=\widehat{KAC}=\widehat{CSA}$ nên ta suy ra được điều đó

**Fool's theorem** · 19-07-2014, 09:47 PM

Bài 5:
Gọi số được chọn để xóa từ hàng $k$ là $x_k$
Ta có $x_k= (k-1)n +p(k)$ với $p(k) \in {1,2,...,n}$
Do 2 số được chọn bất kì thì không cùng cột nên $p(i)$ khác $p(j)$ với mọi $i$ khác $j$. Tức là $p(1),p(2),...,p(n)$ là một hoán vị của $1,2,...,n$
Từ đây dễ dàng tính được tổng tất cả các $x_k$

antuc220375 · 20-07-2014, 11:11 AM

Bài số 3 là của Japan 2009, khá khó.

giabao185 · 20-07-2014, 12:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi antuc220375

Bài số 3 là của Japan 2009, khá khó.

Cho mình xin link cái

khi gia · 20-07-2014, 07:23 PM

Trích:

Bài 2:Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 thì luôn có bất đẳng thức:
$k(a^4+b^4+c^4−3)≥a^3+b^3+c^3+3abc−6$

cho $a=b=\frac{1}{2},c=2$, ta suy ra đc $k \geq \frac{2}{7}$. ta cần cm:
$$\frac{2}{7}(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6 (1)$$
đặt f(a,b,c)=VT(1)-VP(1), $t=\frac{a+b}{2}$.giả sử $c=max(a,b,c)\Rightarrow c\geq 1, t\leq 1$.
$f(a,b,c)-f(t,t,c)=\frac{2}{7}(a^4+b^4-2t^2)-(a^3+b^3-2t^3)-3c(ab-t^2)$
$=(a-b)^2 (\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{28}-\dfrac{3a+3b}{4}+\dfrac{3c}{4})$
$=\dfrac{(a-b)^2}{4}(\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{7}+6c-9)$
ta thấy $\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{7}+6c-9 \geq \frac{6}{7}(a+b)^2+6c-9 = \frac{6}{7}(3-c)^2+6c-9$. tới đay ta xét hàm trên theo biến $c$ với đk $c\geq 1$ chứng minh đc $\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{7}+6c-9 > 0$
do đó : $f(a,b,c)\geq f(t,t,c)$.Để kết thúc cm ta chỉ ra $f(t,t,c)\geq 0$
$f(t,t,3-2t)=\dfrac{2}{7}[2t^4+(3-2t^4)^2-3]-2t^4-(3-2t)^3-3t^2(3-2t)^2+6\geq 0$
$\Leftrightarrow (t-1)^2(2t-1)^2 \geq 0$: đúng

antuc220375 · 20-07-2014, 09:28 PM

Bài PTH là bài khó. Đây là bài Japan 2009
Các bước : 1. CM f không giảm
2. Nếu tồn tại a mà f(a) = 0 thì f tuần hòan và do đó f = 0 với mọi x.
3. Nếu f(x) > 0 với mọi x > 0 thì f tăng thực sự. Do đó f là đơn ánh. PTH có thể viết $f(x^2) + f(y^2) = f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})$. Hoạn vị x,y có $f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})) = f(x^{2}+y^{2}+yf(4x^{2}))$ . Vì f đơn nên phải có $xf(4y^2) = yf(4x^2)$
hay $\dfrac{f(4y^2)}{y}=\dfrac{f(4x^2)}{x}=c.$
Do đó f(4x^2) = cx hay $f(x)= k\sqrt{x}$. Tìm được k = 1. Vậy $f(x)=\sqrt{x}$.
Đây là bài có trong quyển sách Topic in Functional Equations, trang 457.

giabao185 · 21-07-2014, 01:46 PM

Trích:

Nguyên văn bởi antuc220375

Bài PTH là bài khó. Đây là bài Japan 2009
Các bước : 1. CM f không giảm
2. Nếu tồn tại a mà f(a) = 0 thì f tuần hòan và do đó f = 0 với mọi x.
3. Nếu f(x) > 0 với mọi x > 0 thì f tăng thực sự. Do đó f là đơn ánh. PTH có thể viết $f(x^2) + f(y^2) = f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})$. Hoạn vị x,y có $f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})) = f(x^{2}+y^{2}+yf(4x^{2}))$ . Vì f đơn nên phải có $xf(4y^2) = yf(4x^2)$ hay $f(4^y^2)/y = f(4x^2)/x = c$.
Do đó f(4x^2) = cx hay $f(x)= k\sqrt{x}$. Tìm được k = 1. Vậy $f(x)=\sqrt{x}$.
Đây là bài có trong quyển sách Topic in Functional Equations, trang 457.

Làm sao c/m được f không giảm thế bạn??Cho mình xin cái link
------------------------------

antuc220375 · 21-07-2014, 03:11 PM

Với mỗi y > 0, đa thức theo x là $x^{2}+xf(4y)$ nhận mọi giá trị dương ( do pt bậc hai có ac < 0 thì có 2 nghiệm trái dấu).
Từ đó với mọi y > 0 , lấy z = y +a ( a >0) thì có x sao cho $a = x^{2}+4xf(y)$.
Khi đó $f(z) = f(x^{2}+y +4xf(y)) = f(x^{2})+f(y) >= f(y)$. Vậy f không giảm. Mình không có file quyển sách đó. Cảm ơn.

tmp · 22-07-2014, 10:54 PM

Trích:

Nguyên văn bởi giabao185

Cho mình xin link cái

First, notice that $g(x) = x^2 + kx$ spans all non-negative reals for non-negative values of $x$, because $g(0) = 0$ and $g(x)$ goes to infinity as $x$ increases.

Then $f$ is non-decreasing: if $z = y + a, a > 0$, then there is $x > 0$ such that $x^2 + 4f(y)\cdot x = a$. Choosing such $x$ we have $f(x^2) + f(y) = f(z)$ and since $f$ can only assume non-negative values, $f(z) \geq f(y)$.

Suppose that there is $k > 0$ such that $f(k) = 0$. Then, since $f$ is non-decreasing and, by letting $x = y = 0, f(0) = 0, f(x) = 0 for 0 \leq x \leq k$. Letting $x$ be $\sqrt x$ and $y = k/4$, we obtain $f(x) + f(k/4) = f(x + k/4)\iff f(x+k/4) = f(x)$. This implies that $f$ is periodic with period $k/4$. Since $f([0,k]) = \{0\}, f(x) = 0$ for all non-negative $x$.

It remains to solve the case in which $f(x) > 0$ for all positive $x$. In this case, $f$ is strictly increasing ($f(z) \geq f(y)$ turns into a strict inequality) and, henceforth, $f$ is injective. Substituting $x$ by $\sqrt x$ we obtain $f(x) + f(y) = f(x + y + \sqrt xf(4y))$. By symmetry, $f(x + y + \sqrt xf(4y)) = f(x + y + \sqrt yf(4x)) \iff \frac{f(4x)}{\sqrt x} = \frac{f(4y)}{\sqrt y}$ This means that $\frac{f(x)}{\sqrt x}$ is constant, so $f(x) = c\cdot \sqrt x$. Direct substitution yields $c = 1$ and we are done.

18-07-2014, 10:54 PM	#1
mathandyou Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts	Đề thi trường hè Lê Quý Đôn Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng Trường Hè Toán HỌc 2014 Kiểm Tra Chất Lượng Thời gian: 180, Ngày: 17-07-2014 Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $K$ là trực tâm tam giác $IAC$ a. Chứng minh $DK$ vuông góc $IM$ b. Gọi $H,L$ lần lượt là trực tâm tam giác $IBC,IAB$. Gọi $X$ là điểm đối xứng của $D$ qua $IM$ và các điểm $Y,Z$ xác định tương tự. Chứng minh $HX,KY,LZ$ đồng quy Bài 2:Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ thì luôn có bất đẳng thức: $$k(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6$$ Bài 3: Tìm $f: [0,+\propto )\rightarrow [0,+\propto )$ thỏa: $f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y))$ với mọi $x,y \geq 0$ Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Gọi $E,F,G$ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng $AB$ và $CD, BC$ và $DA, AC$ và $BD$. Các đường tròn $(DAE), (DCF)$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $H$. Phân giác của góc $AHB$ cắt $AB$ tại $I$, phân giác góc $DHC$ cắt $CD$ tại $J$. Chứng minh $I,G,J$ thẳng hàng Bài 5: Các số $1,2,...,n^2$ được điền vào bảng kích thước $n$x$n$ theo cách như hình vẽ bên dưới. Ta xóa đi n số từ bảng, sao cho không có hai số nào được xóa cùng hàng cũng như không có hai số nào được xóa cùng cốt. Tìm tổng các số còn lại của bảng __________________ Xét cho cùng, phần thưởng cao quý nhất mà công việc mang lại không phải là thứ bạn nhận được, mà nó vẽ nên chân dung con người bạn ra sao. [Only registered and activated users can see links. ]

19-07-2014, 05:55 PM	#3
hoanghai_vovn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Asia Bài gởi: 208 Thanks: 303 Thanked 111 Times in 64 Posts	Ta có$\angle HAE=\angle HDE$ và $\angle HFC=\angle HDE$ nên suy ra $\angle HAE=\angle HFB$ do đó $HFBA$ nội tiếp. Bằng biến đổi góc đơn giản, ta thu được $\angle HDA=\angle HCB$ và $\angle HAD=\angle HBC$, suy ra $\Delta HAD\sim \Delta HBC$. Do tc phân giác $HI$ nên $\frac{IA}{IB}=\frac{HA}{HB}$, suy ra $\frac{IA}{IB}=\frac{HA}{HB}=\frac{AD}{BC}=\frac{G A}{GB}$ (do tứ giác nội tiếp). Suy ra $GI$ là phân giác của góc $AGB$. tương tự $GJ$ là phân giác của góc $DGC$. Do đó $I,G,J$ thẳng hàng. __________________ Hate me first, love me later!

19-07-2014, 09:47 PM	#6
Fool's theorem +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: T1 K46 Chuyên ĐHSP Hà Nội Bài gởi: 187 Thanks: 42 Thanked 192 Times in 101 Posts	Bài 5: Gọi số được chọn để xóa từ hàng $k$ là $x_k$ Ta có $x_k= (k-1)n +p(k)$ với $p(k) \in {1,2,...,n}$ Do 2 số được chọn bất kì thì không cùng cột nên $p(i)$ khác $p(j)$ với mọi $i$ khác $j$. Tức là $p(1),p(2),...,p(n)$ là một hoán vị của $1,2,...,n$ Từ đây dễ dàng tính được tổng tất cả các $x_k$ __________________ Hope against hope.

20-07-2014, 09:28 PM	#10
antuc220375 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Bài PTH là bài khó. Đây là bài Japan 2009 Các bước : 1. CM f không giảm 2. Nếu tồn tại a mà f(a) = 0 thì f tuần hòan và do đó f = 0 với mọi x. 3. Nếu f(x) > 0 với mọi x > 0 thì f tăng thực sự. Do đó f là đơn ánh. PTH có thể viết $f(x^2) + f(y^2) = f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})$. Hoạn vị x,y có $f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})) = f(x^{2}+y^{2}+yf(4x^{2}))$ . Vì f đơn nên phải có $xf(4y^2) = yf(4x^2)$ hay $\dfrac{f(4y^2)}{y}=\dfrac{f(4x^2)}{x}=c.$ Do đó f(4x^2) = cx hay $f(x)= k\sqrt{x}$. Tìm được k = 1. Vậy $f(x)=\sqrt{x}$. Đây là bài có trong quyển sách Topic in Functional Equations, trang 457. thay đổi nội dung bởi: mathandyou, 21-07-2014 lúc 05:36 PM

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

20-07-2014, 11:11 AM	#7
antuc220375 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Bài số 3 là của Japan 2009, khá khó.

21-07-2014, 03:11 PM	#12
antuc220375 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Với mỗi y > 0, đa thức theo x là $x^{2}+xf(4y)$ nhận mọi giá trị dương ( do pt bậc hai có ac < 0 thì có 2 nghiệm trái dấu). Từ đó với mọi y > 0 , lấy z = y +a ( a >0) thì có x sao cho $a = x^{2}+4xf(y)$. Khi đó $f(z) = f(x^{2}+y +4xf(y)) = f(x^{2})+f(y) >= f(y)$. Vậy f không giảm. Mình không có file quyển sách đó. Cảm ơn.