|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
18-07-2014, 10:54 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts | Đề thi trường hè Lê Quý Đôn Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng Trường Hè Toán HỌc 2014 Kiểm Tra Chất Lượng Thời gian: 180, Ngày: 17-07-2014 Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $K$ là trực tâm tam giác $IAC$ a. Chứng minh $DK$ vuông góc $IM$ b. Gọi $H,L$ lần lượt là trực tâm tam giác $IBC,IAB$. Gọi $X$ là điểm đối xứng của $D$ qua $IM$ và các điểm $Y,Z$ xác định tương tự. Chứng minh $HX,KY,LZ$ đồng quy Bài 2:Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ thì luôn có bất đẳng thức: $$k(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6$$ Bài 3: Tìm $f: [0,+\propto )\rightarrow [0,+\propto )$ thỏa: $f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y))$ với mọi $x,y \geq 0$ Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Gọi $E,F,G$ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng $AB$ và $CD, BC$ và $DA, AC$ và $BD$. Các đường tròn $(DAE), (DCF)$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $H$. Phân giác của góc $AHB$ cắt $AB$ tại $I$, phân giác góc $DHC$ cắt $CD$ tại $J$. Chứng minh $I,G,J$ thẳng hàng Bài 5: Các số $1,2,...,n^2$ được điền vào bảng kích thước $n$x$n$ theo cách như hình vẽ bên dưới. Ta xóa đi n số từ bảng, sao cho không có hai số nào được xóa cùng hàng cũng như không có hai số nào được xóa cùng cốt. Tìm tổng các số còn lại của bảng |
The Following 3 Users Say Thank You to mathandyou For This Useful Post: |
19-07-2014, 03:59 PM | #2 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school Bài gởi: 571 Thanks: 206 Thanked 355 Times in 241 Posts | Trích:
Gọi $E$ là giao điểm $AI$ với $KC$, $H$ là giao điểm $KD$ với $IM$, $N$ là giao điểm của $AB$ với $KC$, $S$ là giao điểm của $BC$ và $AK$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AC$, $R$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. Từ giả thiết ta suy ra: *$E,D,I,F,C$ cùng thuộc 1 đường tròn $\Rightarrow S,D,E,K$ cùng thuộc 1 đường tròn (1) *$E$ là trung điểm $CN$ $\Rightarrow ME\parallel BN$ $\Rightarrow \widehat{MEC}=\widehat{ANC}=\widehat{ACN}$ $\Rightarrow \widehat{IEM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$ Mà $\widehat{ISM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}$ Từ đây ta suy ra tứ giác $SIME$ nội tiếp (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh b) Chứng minh $HX,LZ,KY$ đồng quy Chứng minh tương tự như trên ta suy ra $LD \perp IM$ $\Rightarrow K,L,X,D$ thẳng hàng $D$ đối xứng với $X$ qua $IM$ nên $ID=IX=r$ nên $X$ thuộc đường tròn tâm $I$. Tương tự cho các trường hợp điểm còn lại Áp dụng phương tích với đường tròn tâm $I$ cho các điểm $H,K,L$, ta có: $\dfrac{LX}{LY}.\dfrac{KZ}{KX}.\dfrac{HY}{HZ}= \dfrac{LF}{LD}.\dfrac{KD}{KR}.\dfrac{HR}{HF}$ Mặt khác: $\Delta HKL$ có $HD,LR,KF$ đồng quy tại $I$ nên áp dụng định lý Ceva, ta có: $\dfrac{LF}{LD}.\dfrac{KD}{KR}.\dfrac{HR}{HF}=1$ $\Rightarrow \dfrac{LX}{LY}.\dfrac{KZ}{KX}.\dfrac{HY}{HZ}=1$ Theo định lý Ceva đảo ta suy ra điều phải chứng minh __________________ Tú Văn Ninh thay đổi nội dung bởi: JokerNVT, 19-07-2014 lúc 07:03 PM | |
The Following 3 Users Say Thank You to JokerNVT For This Useful Post: |
19-07-2014, 05:55 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Asia Bài gởi: 208 Thanks: 303 Thanked 111 Times in 64 Posts | Ta có$\angle HAE=\angle HDE$ và $\angle HFC=\angle HDE$ nên suy ra $\angle HAE=\angle HFB$ do đó $HFBA$ nội tiếp. Bằng biến đổi góc đơn giản, ta thu được $\angle HDA=\angle HCB$ và $\angle HAD=\angle HBC$, suy ra $\Delta HAD\sim \Delta HBC$. Do tc phân giác $HI$ nên $\frac{IA}{IB}=\frac{HA}{HB}$, suy ra $\frac{IA}{IB}=\frac{HA}{HB}=\frac{AD}{BC}=\frac{G A}{GB}$ (do tứ giác nội tiếp). Suy ra $GI$ là phân giác của góc $AGB$. tương tự $GJ$ là phân giác của góc $DGC$. Do đó $I,G,J$ thẳng hàng. __________________ Hate me first, love me later! |
The Following User Says Thank You to hoanghai_vovn For This Useful Post: | mathandyou (19-07-2014) |
19-07-2014, 06:15 PM | #4 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | Trích:
__________________ i'll try my best. | |
19-07-2014, 07:03 PM | #5 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school Bài gởi: 571 Thanks: 206 Thanked 355 Times in 241 Posts | Trích:
Do $\widehat{KED}=\widehat{KAC}=\widehat{CSA}$ nên ta suy ra được điều đó __________________ Tú Văn Ninh thay đổi nội dung bởi: JokerNVT, 19-07-2014 lúc 07:06 PM | |
19-07-2014, 09:47 PM | #6 |
+Thành Viên Danh Dự+ | Bài 5: Gọi số được chọn để xóa từ hàng $k$ là $x_k$ Ta có $x_k= (k-1)n +p(k)$ với $p(k) \in {1,2,...,n}$ Do 2 số được chọn bất kì thì không cùng cột nên $p(i)$ khác $p(j)$ với mọi $i$ khác $j$. Tức là $p(1),p(2),...,p(n)$ là một hoán vị của $1,2,...,n$ Từ đây dễ dàng tính được tổng tất cả các $x_k$ __________________ Hope against hope. |
The Following User Says Thank You to Fool's theorem For This Useful Post: | mathandyou (19-07-2014) |
20-07-2014, 11:11 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | Bài số 3 là của Japan 2009, khá khó. |
20-07-2014, 12:47 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2012 Bài gởi: 77 Thanks: 54 Thanked 41 Times in 36 Posts | |
20-07-2014, 07:23 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2013 Bài gởi: 28 Thanks: 53 Thanked 18 Times in 13 Posts | Trích:
$$\frac{2}{7}(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6 (1)$$ đặt f(a,b,c)=VT(1)-VP(1), $t=\frac{a+b}{2}$.giả sử $c=max(a,b,c)\Rightarrow c\geq 1, t\leq 1$. $f(a,b,c)-f(t,t,c)=\frac{2}{7}(a^4+b^4-2t^2)-(a^3+b^3-2t^3)-3c(ab-t^2)$ $=(a-b)^2 (\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{28}-\dfrac{3a+3b}{4}+\dfrac{3c}{4})$ $=\dfrac{(a-b)^2}{4}(\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{7}+6c-9)$ ta thấy $\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{7}+6c-9 \geq \frac{6}{7}(a+b)^2+6c-9 = \frac{6}{7}(3-c)^2+6c-9$. tới đay ta xét hàm trên theo biến $c$ với đk $c\geq 1$ chứng minh đc $\dfrac{7a^2+10ab+7b^2}{7}+6c-9 > 0$ do đó : $f(a,b,c)\geq f(t,t,c)$.Để kết thúc cm ta chỉ ra $f(t,t,c)\geq 0$ $f(t,t,3-2t)=\dfrac{2}{7}[2t^4+(3-2t^4)^2-3]-2t^4-(3-2t)^3-3t^2(3-2t)^2+6\geq 0$ $\Leftrightarrow (t-1)^2(2t-1)^2 \geq 0$: đúng | |
The Following User Says Thank You to khi gia For This Useful Post: | duykhanhht (24-07-2014) |
20-07-2014, 09:28 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | Bài PTH là bài khó. Đây là bài Japan 2009 Các bước : 1. CM f không giảm 2. Nếu tồn tại a mà f(a) = 0 thì f tuần hòan và do đó f = 0 với mọi x. 3. Nếu f(x) > 0 với mọi x > 0 thì f tăng thực sự. Do đó f là đơn ánh. PTH có thể viết $f(x^2) + f(y^2) = f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})$. Hoạn vị x,y có $f(x^{2}+y^{2}+xf(4y^{2})) = f(x^{2}+y^{2}+yf(4x^{2}))$ . Vì f đơn nên phải có $xf(4y^2) = yf(4x^2)$ hay $\dfrac{f(4y^2)}{y}=\dfrac{f(4x^2)}{x}=c.$ Do đó f(4x^2) = cx hay $f(x)= k\sqrt{x}$. Tìm được k = 1. Vậy $f(x)=\sqrt{x}$. Đây là bài có trong quyển sách Topic in Functional Equations, trang 457. thay đổi nội dung bởi: mathandyou, 21-07-2014 lúc 05:36 PM |
The Following User Says Thank You to antuc220375 For This Useful Post: | giabao185 (21-07-2014) |
21-07-2014, 01:46 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2012 Bài gởi: 77 Thanks: 54 Thanked 41 Times in 36 Posts | Trích:
------------------------------ thay đổi nội dung bởi: mathandyou, 21-07-2014 lúc 05:29 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
21-07-2014, 03:11 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | Với mỗi y > 0, đa thức theo x là $x^{2}+xf(4y)$ nhận mọi giá trị dương ( do pt bậc hai có ac < 0 thì có 2 nghiệm trái dấu). Từ đó với mọi y > 0 , lấy z = y +a ( a >0) thì có x sao cho $a = x^{2}+4xf(y)$. Khi đó $f(z) = f(x^{2}+y +4xf(y)) = f(x^{2})+f(y) >= f(y)$. Vậy f không giảm. Mình không có file quyển sách đó. Cảm ơn. |
The Following User Says Thank You to antuc220375 For This Useful Post: | giabao185 (22-07-2014) |
22-07-2014, 10:54 PM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 149 Thanks: 26 Thanked 17 Times in 14 Posts | Xem Solu First, notice that $g(x) = x^2 + kx$ spans all non-negative reals for non-negative values of $x$, because $g(0) = 0$ and $g(x)$ goes to infinity as $x$ increases. Then $f$ is non-decreasing: if $z = y + a, a > 0$, then there is $x > 0$ such that $x^2 + 4f(y)\cdot x = a$. Choosing such $x$ we have $f(x^2) + f(y) = f(z)$ and since $f$ can only assume non-negative values, $f(z) \geq f(y)$. Suppose that there is $k > 0$ such that $f(k) = 0$. Then, since $f$ is non-decreasing and, by letting $x = y = 0, f(0) = 0, f(x) = 0 for 0 \leq x \leq k$. Letting $x$ be $\sqrt x$ and $y = k/4$, we obtain $f(x) + f(k/4) = f(x + k/4)\iff f(x+k/4) = f(x)$. This implies that $f$ is periodic with period $k/4$. Since $f([0,k]) = \{0\}, f(x) = 0$ for all non-negative $x$. It remains to solve the case in which $f(x) > 0$ for all positive $x$. In this case, $f$ is strictly increasing ($f(z) \geq f(y)$ turns into a strict inequality) and, henceforth, $f$ is injective. Substituting $x$ by $\sqrt x$ we obtain $f(x) + f(y) = f(x + y + \sqrt xf(4y))$. By symmetry, $f(x + y + \sqrt xf(4y)) = f(x + y + \sqrt yf(4x)) \iff \frac{f(4x)}{\sqrt x} = \frac{f(4y)}{\sqrt y}$ This means that $\frac{f(x)}{\sqrt x}$ is constant, so $f(x) = c\cdot \sqrt x$. Direct substitution yields $c = 1$ and we are done. thay đổi nội dung bởi: Fool's theorem, 23-07-2014 lúc 09:23 AM |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|