Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Ninh Bình năm học 2014-2015

[Saruka 01]

Bài 1:Tìm tất cả các hàm liên tục $f:R\rightarrow R:3f(2x+1)=f(x) $
Bài 2: Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy-(x-y)(\sqrt{xy}-2)}
+\sqrt{x}=\sqrt{y}+y& & \\
(x+1).(y+\sqrt{xy}+x.(1-x))=4& &
\end{matrix}\right. $
Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn,trực tâm H.Gọi D là hình chiếu của A trên BC,M là trung điểm của BC.Giả sử E,F lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với các tia MH,ED.CMR Tứ giác ABFC là tứ giác điều hòa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuankietpq]

Nguyên văn bởi Saruka 01

Bài 1:Tìm tất cả các hàm liên tục $f:R\rightarrow R:3f(2x+1)=f(x) $
Bài 2: Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy-(x-y)(\sqrt{xy}-2)}
+\sqrt{x}=\sqrt{y}+y& & \\
(x+1).(y+\sqrt{xy}+x.(1-x))=4& &
\end{matrix}\right. $
Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn,trực tâm H.Gọi D là hình chiếu của A trên BC,M là trung điểm của BC.Giả sử E,F lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với các tia MH,ED.CMR Tứ giác ABFC là tứ giác điều hòa
P/S: Ai giải được bài nào thì cho e xin lời giải vs,mai e phải làm bài kiểm tra này rồi

Bài 1:
Thay x bởi $\frac{x-1}{2}$ ta được
$f\left( x \right)=\frac{1}{3}f\left( \frac{x-1}{2} \right)$
$f\left( \frac{x-1}{2} \right)=\frac{1}{3}f\left( \frac{x-1-2}{{{2}^{2}}} \right)$
Do đó
$f\left( x \right)=\frac{1}{{{3}^{2}}}f\left( \frac{x-1-2}{{{2}^{2}}} \right)=\frac{1}{{{3}^{3}}}f\left( \frac{x-1-2-{{2}^{2}}}{{{2}^{3}}} \right)=...=\frac{1}{{{3}^{n}}}f\left( \frac{x-1-2-{{2}^{2}}-...-{{2}^{n-1}}}{{{2}^{n}}} \right)=\frac{1}{{{3}^{n}}}f\left( \frac{x+1-{{2}^{n}}}{{{2}^{n}}} \right)$Ta có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1-{{2}^{n}}}{{{2}^{n}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x+1}{{{2}^{n}}}-1 \right)=-1$
Vì vậy
$f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{{{3}^{n}}}f\left( \frac{x+1}{{{2}^{n}}}-1 \right) \right]=0f\left( -1 \right)=0$
Thử lại thấy thỏa mãn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Mình làm bài này hơi dở,có lẽ có cách khác hay hơn.
Ý tưởng là chứng minh $AF$ là đường đối trung của $\triangle ABC$.

Bổ đề 1:Cho $\triangle ABC$,tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau tại $T$ thì $AT$ là đường đối trung của $\triangle ABC$.

Bổ đề này quen thuộc,chứng minh bằng tứ giác điều hòa và định lí ptoleme

Bổ đề 2:Tia $MH$ cắt $(ABC)$ tại $E$ thì $\angle AEH=90$.



Chứng minh:
$AO$ cắt $(ABC)$ tại $A'$ thì $BH \parallel CA'$,$CH \parallel BA'$ nên $BHCA'$ là hình bình hành nên $M$ là trung điểm $A'H$.
Từ đó ta có đpcm.



Trở lại bài toán thì:
Từ bổ đề $2$ thì $AEDM$ là tứ giác nội tiếp.
Biến đổi góc:
$\angle BAF=\angle BEF=90-\angle xEB-\angle FEM=90-\angle ACM-\angle DAM=\angle AMD-\angle ACM=\angle CAM$
Từ đó $AF$ là đường đối trung của $\triangle ABC$.
Vậy thì tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ và $AF$ đồng qui nên $ABFC$ là tứ giác điều hòa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi Saruka 01

Bài 2: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy-(x-y)(\sqrt{xy}-2)}
+\sqrt{x}=\sqrt{y}+y& & \\
(x+1).(y+\sqrt{xy}+x.(1-x))=4& &
\end{matrix}\right.$$

Liên hợp phương trình 1 ta được:
$$\dfrac{xy-y^2-(x-y)(\sqrt{xy}-2)}{\sqrt{xy-(x-y)(\sqrt{xy}-2)}+y} + \dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=0$$
$$\Leftrightarrow \left(x-y\right) \left( \dfrac{y-\sqrt{xy}+2}{xy-(x-y)(\sqrt{xy}-2)+y^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \right)=0$$
Ta chứng minh cho cái loàng ngoàng kia lớn hơn 0 là ok.

Quy đồng lại ta đc tử số là:
$2(\sqrt{x}+\sqrt{y})+xy+y^2-x\sqrt{y}-(x-y)(\sqrt{xy}-2)$

Mà theo điều kiện thì $xy-(x-y)(\sqrt{xy}-2) \ge 0$ nên ta chỉ cần chứng minh $0<2(\sqrt{x}+\sqrt{y})+xy+y^2-x\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + x\sqrt{y} + \sqrt{y}(2+y\sqrt{y}-\sqrt{y})$

Do đó mà ta thu đc $x=y$

Thay vào pt2 ta sẽ tìm đc nghiệm $(x;y)=(1;1)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Saruka 01]

Lời giải sai rồi bạn ơi,chỗ liên hợp ở mẫu sao mất hết căn đi vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi Saruka 01

Bài 3:Cho tam giác ABC nhọn,trực tâm H.Gọi D là hình chiếu của A trên BC,M là trung điểm của BC.Giả sử E,F lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với các tia MH,ED.CMR Tứ giác ABFC là tứ giác điều hòa

Tứ giác điều hòa là một phương tiện, không nên yêu cầu chứng minh điều này, có thể cho điểm $A$ di động rồi chứng minh $AF$ luôn đi qua 1 điểm cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]