Đề thi chọn đội tuyển toán 10 lần 1 THPT Chuyên Lương Thế Vinh , Đồng Nai

[sieusieu90]

Time : 180'
Câu 1. Giải phương trình sau trên tập số thực :
$$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$$
Câu 2. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=\frac{9}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac{2}{abc}$$
Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AB>AC.$ Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt $BC$ tại $F.$ Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC.$ Gọi $X$ là hình chiếu của $A$ trên $BE$ và $Y$ là trung điểm $AX.$ Đường thẳng $BY$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $Z.$ Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn $(O)$ và gọi $H$ là giao điểm $AE$ và $BC.$ Chứng minh rằng :
a/ $D,H,Z$ thẳng hàng .
b/ Đường thẳng $BF$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFZ.$
Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn :
$$x^3+3367=2^y.$$
Câu 5. Cho $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ khác nhau đôi một. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho tổng của ba số bất kì trong $n$ số đó là một số nguyên tố.

-------------Hết-------------

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BuiT1k24]

Bài 2. Áp dụng bđt: $3(ab+bc+ca)\leqslant (a+b+c)^{2}$
$\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leqslant (ab+bc+ca)^{2}$
$\Leftrightarrow 3abc\leqslant (ab+bc+ca)(ab+bc+ca)\leqslant \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow abc\leqslant \frac{1}{9}(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow P\geqslant \frac{9}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac{2}{\frac{1}{9}(ab+bc+ca)}= \frac{9}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac{36}{2(ab+bc+ca)}$
$\Leftrightarrow P\geqslant 81$ (áp dụng Svac)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hieut1k24]

Câu 4
Do 3367 chia hết cho 7 nên $x^{3}\equiv 2^{y}(mod7)$
Xét y có dạng 3k+1 và 3k+2 thì $2^{y}$ chia 7 dư 2 hoặc 4
mà $x^{3}$ chia 7 dư 0 hoặc 1,6 nên 2 TH này không tm
xét y có dạng $3k $ ta có
$x^{3}+3367=2^{3k}$
$\Leftrightarrow (2^{k}-x)((2^{k})^{2}+x\times 2^{k}+x^{2})=3367$
Với $(2^{k}-x)< ((2^{k})^{2}+x\times 2^{k}+x^{2})$ và $k,x\in N$ ta lập được bảng
$\Rightarrow x=9,y=12$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chunggold]

Câu 3:
a) Dễ thấy $YH\parallel XE$ nên $\angle AHY=\angle AEB=\angle AZY$
suy ra tứ giác $AYHZ$ nội tiếp. Do đó $\angle AZH=180^0-\angle AYH=180^0-\angle AXE=90^0$
Mà $\angle AZD=90^0$ nên $Z,H,D$ thẳng hàng
b)
Ta có $HZ.HD=HC.HB=AH^2=HO.HF$
suy ra $\triangle FHZ\sim \triangle DHO$ $\Rightarrow\angle HFZ=\angle ODH=\angle ABZ=\angle ZAF$
Do đó $BF$ là tiếp tuyến $(AFZ)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]