|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-04-2013, 06:01 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Apr 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 389 Thanks: 67 Thanked 133 Times in 97 Posts | Đề thi OLP SV năm 2013 môn Giải tích Câu 1. Cho $x_1 = a \in \mathbb{R}$ và dãy $(x_n)$ được xác định bởi $(n+1)^2 x_{n+1} = n^2 x_n + 2n+1$. Tìm $\lim\limits_{x \to \infty} x_n$. Câu 2. Tìm giới hạn $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} \frac{nx^n}{2013+x^n} dx. $$ Câu 3. Cho $\alpha \ge \beta \ge 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$$ với mọi $ x \in (0,\infty)$. Câu 4. Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trong $(0,1)$ thỏa mãn $f(0)=0 ; f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2013} \in (0,1)$ sao cho $$ \sum_{k=1}^{2013} \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{2013 \times 1007}{2}. $$ Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện $$ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $$ với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng $$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$ Câu 6 Thí sinh chọn một trong hai câu:
__________________ Đã trở lại thay đổi nội dung bởi: novae, 11-04-2013 lúc 08:03 PM |
The Following 7 Users Say Thank You to lion For This Useful Post: | hieu1411997 (10-04-2013), kynamsp (10-04-2013), LichKing (10-04-2013), magician_14312 (10-04-2013), MathForLife (11-04-2013), portgas_d_ace (10-04-2013), thaygiaocht (10-04-2013) |
10-04-2013, 08:45 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Dạng này khá thú vị vì BTC ra lần đầu năm 2004, sau đó năm 2011 ra lại bây giờ lại ra nữa. Tuy nhiên hình như bài này khó hơn do cần dùng bất đẳng thức C-S, lại phải tính tích phân lượng giác. Không hiểu mình tính sai hay sao mà thu được một bất đẳng thức chặt hơn. |
10-04-2013, 10:02 PM | #3 | |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Trích:
Với mỗi $x \in [0,1]$, tồn tại duy nhất $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$ để $sin^4t=x$. Như vậy từ điều kiện bài toán suy ra: $f(sin^4t)+f(cos^4t) \leq 1$. Đổi cận $sin^4t=x$, ta thu được: $A= \int_{0}^{1} \sqrt{f(x)}dx=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{f(sin^4t)}.sin^3t.costdx$. Rõ ràng $A^2 \leq 16 [\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(sin^4t)dt].[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^6t.cos^2tdx]$ Tương tự với việc đổi cận cho $cost$. Từ đó cậu kết hợp xử lý tiếp đoạn sau để đưa ra đánh giá của A? __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 10-04-2013 lúc 10:11 PM | |
The Following 3 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post: |
10-04-2013, 10:36 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 75 Thanks: 39 Thanked 54 Times in 33 Posts | Câu 1: Ta có $(n+1)^2[x_{n+1}-1]=n^2[x_n-1]=\cdots=a-1 \Rightarrow x_n=\dfrac{a-1}{n^2}+1 \Rightarrow \lim x_n=1 $ Câu 2: Sử dụng tích phân từng phần $\int_0^1\frac{nx^n}{x^n+2013}dx=x\ln(x^n+2013)|_0^ 1-\int_0^1\ln(x^n+2013)dx=\ln 2014-\int_0^1\ln(x^n+2013)dx $ Sử dụng bất đẳng thức cơ bản $\ln(x+1) \le x $ ta có ngay $0 \le \ln(x^n+2013)-\ln 2013=\ln\left(\frac{x^n}{2013}+1\right) \le \frac{x^n}{2013} $ Từ đánh giá này suy ra $\lim\int_0^1\ln(x^n+2013)dx=\ln 2013 $ suy ra đáp số của bài toán là $\ln\frac{2014}{2013} $Hai bài này chắc gỡ điểm ! |
The Following 4 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post: |
11-04-2013, 12:18 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 75 Thanks: 39 Thanked 54 Times in 33 Posts | Câu 4: Đặt $c_k=\frac{k(k+1)}{n(n+1)},\ k=1, 2, \cdots, n \Rightarrow c_k-c_{k-1}=\frac{2k}{n(n+1)}>0 $ Ta có $c_0=0=f(0),\ c_n=1=f(1) $ dễ thấy $c_k \in (0, 1),\ \forall\ k=1, 2, 3, \cdots, n-1 $ Sử dụng định lý trung gian dễ thấy tồn tại các số thỏa $0<y_1<y_2<\cdots<y_{n-1}<1 $ và ta có $f(y_k)=c_k,\ k=1, 2, \cdots, n-1 $ Sử dụng định lý Cauchy tồn tại $x_k \in (y_{k-1}, y_k) $ $\frac{y_k^2-y_{k-1}^2}{f(y_k)-f(y_{k-1})}=\frac{2x_k}{f'(x_k)} \Rightarrow \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{n(n+1)}{4}(y_k^2-y_{k-1}^2) $ Lấy tổng vào dễ ràng suy ra $\sum_{k=1}^n\frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{n(n+1)}{4} $ Đề thi là trường hợp riêng n=2013 thay đổi nội dung bởi: LichKing, 11-04-2013 lúc 10:10 AM |
The Following 5 Users Say Thank You to LichKing For This Useful Post: | hieu1411997 (11-04-2013), Highschoolmath (11-04-2013), hoangia (11-04-2013), khanhkhtn (11-04-2013), thaygiaocht (11-04-2013) |
11-04-2013, 02:51 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: vinh phuc Bài gởi: 14 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post | Có ai giải đc bài phương trình hàm ko ? |
11-04-2013, 06:26 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 27 Thanks: 21 Thanked 17 Times in 10 Posts | Bạn xem nhé! Bạn xem ở file đính kèm nhé! |
11-04-2013, 07:55 PM | #8 | |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Trích:
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \} \geq x^{\alpha+\beta} - f(x)$$, suy ra $f(x) \geq \frac{1}{2}x^{\alpha+\beta}$ với mọi $x>0$. (1) Như vậy, điều kiện đã cho trở thành: $$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \} \leq \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - \frac{1}{2}y^{\alpha+\beta} : y \ge x \}$$ (*) Bằng cách khảo sát hàm số đơn giản $f(y)=x^{\alpha}y^{\beta} - \frac{1}{2}y^{\alpha+\beta}$ trên đoạn $[x,+\infty)$, thấy rằng hàm này nghịch biến, cho nên $$\max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - \frac{1}{2}y^{\alpha+\beta} : y \ge x \}=\frac{1}{2}x^{\alpha+\beta}$$. Do vậy, (*) trở thành: $f(x) \leq \frac{1}{2}x^{\alpha+\beta}$ (2) Từ (1) và (2) ta suy ra hàm cần tìm. __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... | |
The Following 3 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post: |
12-04-2013, 01:57 PM | #9 |
Administrator | Bài 2 đã có xuất hiện trong cuốn Real Calculus của Titu, mọi người xem thử bài toán tổng quát tại trang 348, bài 9.5.12: Cho hàm số $g: [0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm liên tục thỏa mãn $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x} $ tồn tại và hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi $f(x): [0;1] \to \mathbb{R}$ thì: $ \lim_{n \to \infty} n \int_{0}^1 f(x)g(x^n) dx = f(1) \int_0^1 \frac{g(x)}{x}dx$. https://www.dropbox.com/s/yn0pd8hm4w...culus_TiTu.pdf Đề giải tích năm nay khó hơn hẳn đề các năm trước, điểm chuẩn xuống khá thấp và khoảng 7-8đ/30 đã có giải ba. Năm nay bạn nguyentram đã được cao điểm nhất Giải tích với 26.5/30đ. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | Highschoolmath (13-04-2013), hoangnam94 (12-04-2013), lethuc_92 (13-04-2013), thaygiaocht (12-04-2013) |
13-04-2013, 02:18 PM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
$A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\sin ^4t)}\sin ^3t\cos tdt $ mình đổi biến để được$A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\cos ^4t)}\cos ^3t\sin tdt $ Đến đây, áp dụng C-S cho 2 cặp số ta được (không áp dụng C-S dạng tích phân do $\sin t $ và $\cos t $ ở 2 tích phân không đối xứng nên khó chọn hàm cho đẳng thức xảy ra)$2A=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\sin ^4t)}\sin ^3t\cos tdt+4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{f(\cos ^4t)}\cos ^3t\sin tdt $ $=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t(\sin ^2t\sqrt{f(\sin ^4t)}+\cos ^2t\sqrt{f(\cos ^4t)}) $ $\le 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t.\sqrt{\sin ^4t+\cos ^4t}=1+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}. $ Do vậy $A \le \frac{1}{2}+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} \ne \frac{\pi\sqrt{5}}{8}. $ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f(x)=\frac{x}{2x-2\sqrt{x}+1}. $ thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 13-04-2013 lúc 02:29 PM | |
The Following 2 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | Highschoolmath (13-04-2013), Phudinhgioihan (18-04-2013) |
13-04-2013, 03:35 PM | #11 | |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Trích:
__________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... | |
The Following User Says Thank You to Highschoolmath For This Useful Post: | thaygiaocht (13-04-2013) |
13-04-2013, 10:38 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 89 Thanks: 46 Thanked 39 Times in 23 Posts | |
13-04-2013, 11:28 PM | #13 |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Với mỗi $x>0$, $f(x)$ nó là maximum của hàm $g(y)=x^{\alpha}.y^{\beta}-f(y)$ trên đoạn $[x,+\infty)$, thế nên hiển nhiên nó sẽ không nhỏ hơn giá trị của hàm $g(y)$ tại điểm $y=x$, cụ thể là không nhỏ hơn $g(x)=x^{\alpha+\beta}-f(x)$ . __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 13-04-2013 lúc 11:31 PM |
13-04-2013, 11:38 PM | #14 |
+Thành Viên+ | Ai biết điểm cụ thể của 5 cao thủ này không? Nguyễn Đức Nam (ĐH Sư phạm Hà Nội), Võ Văn Huy (ĐH Bách khoa TP.HCM), Nguyễn Văn Quý (ĐH Kinh tế quốc dân), Nguyễn Chí Trung (ĐH Sư phạm TP.HCM) và Lê Quang Lâm (ĐH Xây dựng Hà Nội). |
The Following User Says Thank You to lethuc_92 For This Useful Post: | tailsth94 (14-04-2013) |
14-04-2013, 12:31 AM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Thời khắc vinh danh những gương mặt vinh dự đoạt giải nhất và giải đặc biệt tại kỳ thi năm nay (vì chưa có kinh nghiệm quay nên hình hơi mờ nhưng vẫn nhận ra một số cao thủ MS) [Only registered and activated users can see links. ] thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 14-04-2013 lúc 12:49 AM |
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | huynhcongbang (14-04-2013) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|