|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
09-10-2018, 05:53 PM | #1 |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2018 Bài gởi: 11 Thanks: 2 Thanked 0 Times in 0 Posts | Về hàm isomorphism Cho $f:\,G\to G$ là một đồng cấu từ nhóm $G$ đến chính nó thỏa mãn $f$ có duy nhất một điểm bất động là phần tử trung hòa (tức là $f(a)=a$ khi và chỉ khi $a=e$). Chứng minh rằng nếu $f(f(a))=a$ với mọi $a\in G$ thì $f(x)=x^{-1}$ với mọi $x \in G$ và $G$ là nhóm Abel. |
19-06-2019, 03:28 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2014 Bài gởi: 11 Thanks: 3 Thanked 5 Times in 5 Posts | Mình mới giải được trường hợp $G$ giao hoán. Giả sử $G$ là một nhóm giao hoán. Với mọi $x\in G$, $x\phi(x)$ là một điểm bất động. Suy ra $x\phi(x)=e$, $\phi(x)=x^{-1}$. Với trường hợp tổng quát, mình định tìm cách xây dựng một điểm bất động (tương tự như $x\phi(x)$ trong trường hợp giao hoán) nhưng chưa tìm ra... |
The Following User Says Thank You to quangtu123 For This Useful Post: | thaiphongnet (15-10-2019) |
25-06-2019, 02:26 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | __________________ |
03-08-2019, 03:38 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2018 Bài gởi: 16 Thanks: 7 Thanked 1 Time in 1 Post | Ở đây ta cần thêm điều kiện $G$ hữu hạn Xét $a\in G$, ta có: $f(a^{-1}f(a))=f(a^{-1}).f(f(a))=f(a)^{-1}.a=(a^{-1}f(a))^{-1}$ Ta chứng minh $g:G\rightarrow G, a\rightarrow a^{-1}f(a)$ là một song ánh. Thật vậy đây là đơn ánh vì $g(a)=g(b)\Leftrightarrow a^{-1}f(a)=b^{-1}f(b) \Leftrightarrow f(ab^{-1})=ab^{-1}\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=b$ Do đó $|Img|\ge |G|$ nên $|Img|=|G|$ nên $g$ là song ánh, dẫn tới $g$ là toàn ánh. Do đó $\forall x\in G, \exist a\in G: x=a^{-1}f(a)$ nên $f(x)=f(a^{-1}f(a))=(a^{-1}f(a))^{-1}=x^{-1}$ Và $f(ab)=f(a).f(b)$ nên $ab=ba \forall a,b\in G$, G là nhóm abel |
The Following User Says Thank You to anysu For This Useful Post: | quangtu123 (25-07-2020) |
25-07-2020, 06:30 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2014 Bài gởi: 11 Thanks: 3 Thanked 5 Times in 5 Posts | Nếu mệnh đề này không đúng trong trường hợp tổng quát, một bài toán đặt ra sẽ là, tìm một nhóm con vô hạn không abel $G$ và một đồng cấu nhóm $f:G\to G$ sao cho $f\circ f=\mathrm{id}$, $f$ có duy nhất một điểm bất động $e$ và $f$ không phải là phép nghịch đảo (i.e. tìm một phản ví dụ cho mệnh đề trong trường hợp tổng quát). Mình định thử với nhóm $GL_n(\mathbb{R})$ và các inner automorphism nhưng chưa tìm được gì. EDIT: rõ ràng là inner automorphism là không được, vì $x\mapsto gxg^{-1}$ có ít nhất hai điểm bất động là $e$ và $g$, nếu nhóm là không tầm thường. thay đổi nội dung bởi: quangtu123, 26-07-2020 lúc 04:31 AM Lý do: thêm comment cho inner auto. |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|