Bài toán về nghiệm phương trình đại số

[zinxinh]

Đề Bài: Cho $x_{0}=\cos(\frac{2\pi}{21})+\cos(\frac{8\pi}{21}) +\cos(\frac{10\pi}{21})$.Cm $x_{0}$ là nghiệm của phương trình $4x^{3}+2x^{2}-7x-5=0$
Vấn đề là tại sao người ta biết được $x_{0}$ là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Trong đề bài ra kỳ này của số tháng 2/2018 có bài toán $ cos(\frac{2\pi}{21})+cos(\frac{8\pi}{21})+cos( \frac{10 \pi}{21})$ là nghiệm của đa thức hệ số nguyên tối tiểu bậc ba ,hệ số bậc cao nhất là 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Xét nhóm $\Phi{21}=(1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20)$ nhóm này có 12 phần tử.Nếu một đa thức có hệ số nguyên có nghiệm là x=a+bi,thì nó sẽ có nghiệm liên hợp x=a-bi.
Xét nhóm G=(a /0<a<21,(a,21)=1 tồn tại x nguyên mà $(x^{2}-a)$ chia hết cho 21)
G=(1,4,5) tạo thành một nhóm con của $\Phi{21}$ .Có một nhóm H=(1,4,5,-1,-4,-5) là nhóm con của $\Phi{21}$ và có chỉ số $\Phi{21}:H=2$.Do đó
2cos($\frac{2\pi}{21})$,2cos($\frac{8\pi}{21})$,2c os($\frac{10\pi}{21})$ là nghiệm của đa thức hệ số nguyên bậc 6.Xét trường bất biến sinh bởi nhóm H thì tổng 2cos($\frac{2\pi}{21})$+2cos($\frac{8\pi}{21})$+2c os($\frac{10\pi}{21})$ là nghiêm đa thức hệ số nguyên bậc ba ,hệ số của bậc cao nhất là 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ancv93]

Nguyên văn bởi zinxinh

G=(1,4,5) tạo thành một nhóm con của $\Phi{21}$ .

Điều này không đúng.

Nguyên văn bởi zinxinh

Xét trường bất biến sinh bởi nhóm H

"Trường bất biến" là gì hả bạn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

$1^{2}=1,2^{2}=4,4^{2}=16=5,5^{2}=4,8^{2}=1,10^{2} =5,11^{2}=5,------->$ G=(1,4,5).
Điều này cũng nêu rõ ràng cos($\frac{4^{2}.2.\pi}{21}$)=cos($\frac{5.2.\pi}{ 21}$).Vì vậy mà $4^{2}=5$ là vậy
Với mọi $\alpha \in H $ thì tồn tại trường K sao cho $\alpha (x)=x$ với mọi $x\in K$.K là trường con bất biến dưới tác động nhóm H của trường L là trường mở rộng trường nghiệm trên Q
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ancv93]

Nguyên văn bởi zinxinh

Với mọi $\alpha \in H $ thì tồn tại trường K sao cho $\alpha (x)=x$ với mọi $x\in K$.K là trường con bất biến dưới tác động nhóm H của trường L là trường mở rộng trường nghiệm trên Q

Thế thì người ta gọi là trường bất động, chứ không ai gọi là trường bất biến cả Và $\alpha x=x$ chứ không phải $\alpha (x)=x$, nhể?

Nguyên văn bởi zinxinh

$1^{2}=1,2^{2}=4,4^{2}=16=5,5^{2}=4,8^{2}=1,10^{2} =5,11^{2}=5,------->$ G=(1,4,5).
Điều này cũng nêu rõ ràng cos($\frac{4^{2}.2.\pi}{21}$)=cos($\frac{5.2.\pi}{ 21}$).Vì vậy mà $4^{2}=5$

Trên nhóm các ước của đơn vị theo mod 21 (thực chất là hệ thặng dư thu gọn cơ bản mod 21) thì $4^2=-5$ chứ? Bạn ký hiệu $G=(1,4,5)$ thì $4^2\in G$ ư? Tôi nghĩ bạn cần sửa lại là: $G$ là nhóm con của $\phi_{21}$ sinh bởi 1, 4, 5 (dùng ký hiệu <..>). Về bản chất nó là các phần tử có bậc 6 của $\phi_{21}$, còn nói như trong số học thì nó là các thặng dư bậc 2 mod 21, và như thế $G$ chính là $H$ mà thôi.

Nói chung đã dùng đến lý thuyết nhóm, thì bài toán không có gì cả. Chỉ góp ý là bạn trình bày cẩu thả và lung tung quá.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]