|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
21-12-2013, 12:54 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts | Một bổ đề có nhiều ứng dụng Bổ đề:Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$.Khi đó:$x^2+y^2 \vdots p$ khi và chỉ khi $x \vdots p$ và $y \vdots p$. Chứng minh: Hệ quả:Với mọi số nguyên $x$,thì $x^2+1$ không có ước dạng $4k+3$. Bài tập: 1.Cho $T={(x,y)|x,y \epsilon \mathbb{N},0 \leq 2x <y \leq 100,x^4+y^4 \vdots 49}$.Tìm |T|. Giải: Ta có: $x^4+y^4 \vdots 49$ $\rightarrow (x^2)^2+(y^2)^2 \vdots 7$. Theo bổ đề ta có: $x^2 \vdots 7$ và $y^2 \vdots 7$. suy ra:$x \vdots 7$ và $y\vdots 7$. Đặt $x=7a,y=7b$,(a,b là các số tự nhiên).Ta có:$0 \leq 14a <7b \leq 14$ suy ra: $0 \leq a \leq6$.Khi đó:$b=14-2a$. Số bộ $(a,b)$ thỏa là:$\sum_{a=0}^6 (14-2a)=56$. 2.Chứng minh phương trình sau vô nghiệm nguyên:$x^2-y^3=7$. Giải: *Nếu $y$ chẳn thì $x^2 \equiv 3 (mod 4)$.(vô lí) suy ra $y$ lẻ. Pt$\Leftrightarrow x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)$ vì $y$ lẻ nên $y^2-2y+4 \equiv 3 (mod 4)$.Theo hệ quả thì suy ra điều này vô lí. Vậy ta có đpcm. 3.Chứng minh phương trình:$4xy-x-y=z^2$ vô nghiệm nguyên. Giải: PT$\Leftrightarrow 16xy-4x-4y+1=4z^2+1$ $\Leftrightarrow (4x-1)(4y-1)=4z^2+1$. Từ đó theo hệ quả ta có đpcm. 4.Giải phương trình nghiệm nguyên sau:$(x+y)^2+2=2x+2013y$. Giải: Cũng hoàn toàn với tư tưởng như 2 bài toán trên ta sẽ đưa về tổng bình phương cộng 1. PT $\Leftrightarrow (x+y-1)^2+1=2011y$. vì $2011 \equiv 3 (mod 4)$ nên vô nghiệm theo hệ quả. 5.Chứng minh phương trình $x^2+4=y^3$ vô nghiệm nguyên. Giải: Theo đề bài ta có:$x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)$. *Nếu $y=4k$ thì $y-1=4k+3$ nên 4 chia hết cho một ước nguyên tố dạng $4l+3$ của y.(vô lí) *Nếu $y=4k+1,4k+2$ thì $y^2+y+1$ có dạng $4m+3$,tương tự suy ra vô lí. *Nếu $y=4k+3$ thì $y-1\equiv 2(mod4);y^2+y+1\equiv 1 (mod 4)$ nên $VP\equiv 2 (mod 4)$ vô lí vì $VT \equiv 0,1 (mod 4)$. |
The Following 6 Users Say Thank You to mathandyou For This Useful Post: | High high (22-12-2013), Juliel (21-12-2013), khi gia (22-12-2013), luugiangnam (21-12-2013), trungno (21-12-2013), vuihoctoan@ (05-05-2014) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|