Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


 
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Prev Previous Post   Bài tiếp Next
Old 21-12-2013, 12:54 PM   #1
mathandyou
Moderator
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 557
Thanks: 259
Thanked 402 Times in 216 Posts
Một bổ đề có nhiều ứng dụng

Bổ đề:Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$.Khi đó:$x^2+y^2 \vdots p$ khi và chỉ khi $x \vdots p$ và $y \vdots p$.
Chứng minh:

Hệ quả:Với mọi số nguyên $x$,thì $x^2+1$ không có ước dạng $4k+3$.
Bài tập:
1.Cho $T={(x,y)|x,y \epsilon \mathbb{N},0 \leq 2x <y \leq 100,x^4+y^4 \vdots 49}$.Tìm |T|.
Giải:
Ta có: $x^4+y^4 \vdots 49$
$\rightarrow (x^2)^2+(y^2)^2 \vdots 7$.
Theo bổ đề ta có: $x^2 \vdots 7$ và $y^2 \vdots 7$.
suy ra:$x \vdots 7$ và $y\vdots 7$.
Đặt $x=7a,y=7b$,(a,b là các số tự nhiên).Ta có:$0 \leq 14a <7b \leq 14$
suy ra: $0 \leq a \leq6$.Khi đó:$b=14-2a$.
Số bộ $(a,b)$ thỏa là:$\sum_{a=0}^6 (14-2a)=56$.
2.Chứng minh phương trình sau vô nghiệm nguyên:$x^2-y^3=7$.
Giải:
*Nếu $y$ chẳn thì $x^2 \equiv 3 (mod 4)$.(vô lí)
suy ra $y$ lẻ.
Pt$\Leftrightarrow x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)$
vì $y$ lẻ nên $y^2-2y+4 \equiv 3 (mod 4)$.Theo hệ quả thì suy ra điều này vô lí.
Vậy ta có đpcm.
3.Chứng minh phương trình:$4xy-x-y=z^2$ vô nghiệm nguyên.
Giải:
PT$\Leftrightarrow 16xy-4x-4y+1=4z^2+1$
$\Leftrightarrow (4x-1)(4y-1)=4z^2+1$.
Từ đó theo hệ quả ta có đpcm.
4.Giải phương trình nghiệm nguyên sau:$(x+y)^2+2=2x+2013y$.
Giải:
Cũng hoàn toàn với tư tưởng như 2 bài toán trên ta sẽ đưa về tổng bình phương cộng 1.
PT $\Leftrightarrow (x+y-1)^2+1=2011y$.
vì $2011 \equiv 3 (mod 4)$ nên vô nghiệm theo hệ quả.
5.Chứng minh phương trình $x^2+4=y^3$ vô nghiệm nguyên.
Giải:
Theo đề bài ta có:$x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)$.
*Nếu $y=4k$ thì $y-1=4k+3$ nên 4 chia hết cho một ước nguyên tố dạng $4l+3$ của y.(vô lí)
*Nếu $y=4k+1,4k+2$ thì $y^2+y+1$ có dạng $4m+3$,tương tự suy ra vô lí.
*Nếu $y=4k+3$ thì $y-1\equiv 2(mod4);y^2+y+1\equiv 1 (mod 4)$ nên $VP\equiv 2 (mod 4)$ vô lí vì $VT \equiv 0,1 (mod 4)$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Xét cho cùng, phần thưởng cao quý nhất mà công việc mang lại không phải là thứ bạn nhận được, mà nó vẽ nên chân dung con người bạn ra sao.

[Only registered and activated users can see links. ]
mathandyou is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to mathandyou For This Useful Post:
High high (22-12-2013), Juliel (21-12-2013), khi gia (22-12-2013), luugiangnam (21-12-2013), trungno (21-12-2013), vuihoctoan@ (05-05-2014)
 

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:56 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 181.74 k/185.04 k (1.78%)]