Một bài giải tích cơ sở

mathematicae · 05-04-2008, 01:11 PM

Cho A, B là các tập con của $\R $. $A,B \not = \emptyset $ , $A,B \not = \R $ và A là mở, B là đóng trong $\R $. Chứng minh rằng A không đồng phôi với B.

99 · 05-04-2008, 09:31 PM

Phản chứng: giả sử A đồng phôi với B.
Khi đó B không là tập compact trong $\mathbb{R} $ và do đó, B không bị chặn.
Mặt khác, do A đồng phôi B, nên phép đồng phôi $A\to B $ sẽ biến thành phần liên thông của tập này thành thành phần liên thông của tập kia.
-Nếu B có một thành phần liên thông bị chặn , thì nó phải là tập compact, và nó không đồng phôi với thành phần liên thông nào của A (vì thành phần của A là tập mở)
- Nếu B không có thành phần liên thông bị chặn, thì nó phải chứa thành phần có dạng $(-\infty,a] $hoặc $[a,\infty) $. Trong trường hợp này, dễ thấy xảy ra mâu thuẫn, vì điểm a không là điểm trong của tập B.

mathematicae · 05-04-2008, 11:17 PM

Lời giải của bạn có ý đúng nhưng chưa được rõ ràng cho lắm. Bạn có thể trình bày rõ hơn được không?

99 · 05-04-2008, 11:34 PM

Ừm, ít nhất bạn cũng nên nói rõ là không rõ ở đâu chứ ?

mathematicae · 06-04-2008, 11:11 AM

Thứ nhất bạn nên giải thích vì sao B là compact, thứ hai ánh xạ liên tục biến một thành phần liên thông thành tập liên thông thì đúng rồi...còn biến thành một thành phần liên thông cũng cần giải thích một chút...Tóm lại nếu có thể bạn nên trình bày một lời giải chi tiết xem. Bài này cũng là một bài thú vị mà.

99 · 06-04-2008, 01:14 PM

-Nếu B có một thành phần liên thông không bị chặn, thì thành phần đó là compact (vì nó đóng và bị chặn), và sẽ không đồng phôi với tập mở nào của R
-Nó biến một thành phần liên thông thành thành phần liên thông thì mình thấy nó hiển nhiên quá

. Giả sử h là đồng phôi
C là thành phần của A, $h(C) $ nằm trong thành phần D của B, $h^{-1}(D) $ lại nằm trong 1 thành phần của A, cho nên $h(C) = D $

123456 · 18-05-2008, 12:19 AM

có thể chứng minh đơn giản như sau, nếu A và B là đồng phôi thì có tồn tại song ánh liên tục h từ A vào B sao cho $h^{-1} $ cũng liên tục, khi đó $A=h^{-1}(B) $ là tập đóng trong R, mà A là tập mở và R là liên thông, do đó $A=\emptyset $ hoặc $A = R $, điều này là vô lí.

05-04-2008, 01:11 PM	#1
mathematicae +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2008 Bài gởi: 25 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Một bài giải tích cơ sở Cho A, B là các tập con của $\R $. $A,B \not = \emptyset $ , $A,B \not = \R $ và A là mở, B là đóng trong $\R $. Chứng minh rằng A không đồng phôi với B. thay đổi nội dung bởi: mathematicae, 05-04-2008 lúc 01:13 PM

05-04-2008, 09:31 PM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Phản chứng: giả sử A đồng phôi với B. Khi đó B không là tập compact trong $\mathbb{R} $ và do đó, B không bị chặn. Mặt khác, do A đồng phôi B, nên phép đồng phôi $A\to B $ sẽ biến thành phần liên thông của tập này thành thành phần liên thông của tập kia. -Nếu B có một thành phần liên thông bị chặn , thì nó phải là tập compact, và nó không đồng phôi với thành phần liên thông nào của A (vì thành phần của A là tập mở) - Nếu B không có thành phần liên thông bị chặn, thì nó phải chứa thành phần có dạng $(-\infty,a] $hoặc $[a,\infty) $. Trong trường hợp này, dễ thấy xảy ra mâu thuẫn, vì điểm a không là điểm trong của tập B.

05-04-2008, 11:17 PM	#3
mathematicae +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2008 Bài gởi: 25 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Lời giải của bạn có ý đúng nhưng chưa được rõ ràng cho lắm. Bạn có thể trình bày rõ hơn được không?

05-04-2008, 11:34 PM	#4
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Ừm, ít nhất bạn cũng nên nói rõ là không rõ ở đâu chứ ?

06-04-2008, 11:11 AM	#5
mathematicae +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2008 Bài gởi: 25 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts	Thứ nhất bạn nên giải thích vì sao B là compact, thứ hai ánh xạ liên tục biến một thành phần liên thông thành tập liên thông thì đúng rồi...còn biến thành một thành phần liên thông cũng cần giải thích một chút...Tóm lại nếu có thể bạn nên trình bày một lời giải chi tiết xem. Bài này cũng là một bài thú vị mà.

06-04-2008, 01:14 PM	#6
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	-Nếu B có một thành phần liên thông không bị chặn, thì thành phần đó là compact (vì nó đóng và bị chặn), và sẽ không đồng phôi với tập mở nào của R -Nó biến một thành phần liên thông thành thành phần liên thông thì mình thấy nó hiển nhiên quá . Giả sử h là đồng phôi C là thành phần của A, $h(C) $ nằm trong thành phần D của B, $h^{-1}(D) $ lại nằm trong 1 thành phần của A, cho nên $h(C) = D $

18-05-2008, 12:19 AM	#7
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	có thể chứng minh đơn giản như sau, nếu A và B là đồng phôi thì có tồn tại song ánh liên tục h từ A vào B sao cho $h^{-1} $ cũng liên tục, khi đó $A=h^{-1}(B) $ là tập đóng trong R, mà A là tập mở và R là liên thông, do đó $A=\emptyset $ hoặc $A = R $, điều này là vô lí.