Về không gian Hilbert : nhờ mọi người chỉ giúp.

[123456]

Cho E là một không gian Hilbert, $E_1,...,E_n $ là các không gian con của E. Cho $P_1,...,P_n $ là các phép chiếu trực giao lên các không gian con này và các số không âm $c_1,...,c_n $ sao cho
$\sum\limits_{i=1}^nc_iP_i=Id_E $
cho $x_i\in E_i $ với $i=1,..,n $. Bất đẳng thức sau đúng hay sai
$||\sum\limits_{i=1}^{n}c_i x_i||^2\leq \sum\limits_{i=1}^n c_i||x_i||^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[brahman]

Nguyên văn bởi 123456

Cho E là một không gian Hilbert, $E_1,...,E_n $ là các không gian con của E. Cho $P_1,...,P_n $ là các phép chiếu trực giao lên các không gian con này và các số không âm $c_1,...,c_n $ sao cho
$\sum\limits_{i=1}^nc_iP_i=Id_E $

theo mình nếu cho trước $E $ và $E_i $ túy ý thì $c_i $ không chắc tồn tại độc lập đối với mọi $x \in E $, tức điều này:

$\exists \left\{ c_i\right\}_{i=1,..,n} \subset \mathbb{R}^+\, , \, \forall x \in E \; , \; \sum\limits_{i=1}^nc_i . P_i x= x $

không chắc đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi brahman

theo mình nếu cho trước $E $ và $E_i $ túy ý thì $c_i $ không chắc tồn tại độc lập đối với mọi $x \in E $, tức điều này:

$\exists \left\{ c_i\right\}_{i=1,..,n} \subset \mathbb{R}^+\, , \, \forall x \in E \; , \; \sum\limits_{i=1}^nc_i . P_i x= x $

không chắc đúng.

Cám ơn, bất đẳng thức này đúng, mình đã kiểm tra được nó.
Còn sự tồn tại các số $c_i $ phụ thuộc vào các không gian $E_i $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[brahman]

Nguyên văn bởi 123456

Còn sự tồn tại các số $c_i $ phụ thuộc vào các không gian $E_i $.

Bạn 123456 chỉ ra giúp mình các $c_i $ trong trường hợp thiệt là đơn giản như là ở bên dưới:

$E = \mathbb{R}^2 $
$E_1 = \left\{ \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, x-y = 0 \; \right\} $
$E_1 = \left\{ \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, x = 0 \; \right\} $

cảm ơn bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi brahman

Bạn 123456 chỉ ra giúp mình các $c_i $ trong trường hợp thiệt là đơn giản như là ở bên dưới:

$E = \mathbb{R}^2 $
$E_1 = \left\{ \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, x-y = 0 \; \right\} $
$E_1 = \left\{ \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, x = 0 \; \right\} $

cảm ơn bạn.

Trong trường hợp này thì ko tồn tại. Mình đã ghi rõ là sự tồn tại là phụ thuộc vào các không gian $E_i $ mà. Còn điều kiện
$\sum c_iP_i=Id $
chỉ là giả thiết.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Hôm nay, mình xin phép post lời giải của bài này, mình nghĩ rằng đây là một bất đẳng thức khá hay.

Đặt $T_i=c_iP_i $ thì $\sum_i T_i=Id_E $. Trên không gian $E^n $ ta xét dạng song tuyến tính sau: $X=(x_1,...,x_n); Y=(y_1,...,y_n) $ thì
$[X,Y]=\sum_i (T_ix_i,y_i) $
Do các $T_i\geq 0 $ nên $[x,x]\geq 0 $ với mọi $x\in E^n $. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (giống như cho tích vô hướng) ta có :
$|[X,Y]|^2\leq [X,X][Y,Y] $
Cho $x_i\in E_i $, đặt $X=(x_1,...,x_n) $, với $y\in E $ sao cho $||y||=1 $, Đặt $Y=(y,...,y) $ thì
$|(\sum_ic_ix_i,y)|^2=|(\sum_ic_iP_ix_i,y)|^2=|\sum _i(T_ix_i,y)|^2=|[X,Y]|^2\leq [X,X][Y,Y] $.
ta có
$[X,X]=\sum_i(T_ix_i,x_i)=\sum_ic_i(P_ix_i,x_i)=\sum_ic_ i||x_i||^2 $
$[Y,Y]=\sum_i(T_iy,y)=(\sum_iT_iy,y)=||y||^2=1 $
(do $\sum_i T_i=Id_E $)
do đó
$|(\sum_ic_ix_i,y)|^2\leq \sum_ic_i||x_i||^2 $
với mọi $y \in E $ sao cho $||y||=1 $. Lấy sup theo y như vậy ta có bdt cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]