Bất đẳng thức ba biến

quykhtn · 07-10-2012, 11:06 AM

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $ a,b,c $ ta luôn có

$$ \dfrac{a^4}{b^2} + \dfrac{b^4}{c^2} + \dfrac{c^4}{a^2} + 6(ab+bc+ca) \geq 7(a^2+b^2+c^2) $$

hieu1411997 · 08-10-2012, 08:51 PM

Gợi ý: Phân tích S.O.S được thế này : $(a-b)^2\left(\frac{(a+b)^2}{b^2}-3\right)+(b-c)^2\left(\frac{(b+c)^2}{c^2}-3\right)+(c-a)^2\left(\frac{(c+a)^2}{a^2}-3\right)\ge 0 $
Giả sử $a\ge b \ge c $
Ta có $S_a,S_b\ge0 $... Dành cho bạn

quykhtn · 08-10-2012, 11:10 PM

$ S_b \geq 0 $ sai , chẳng hạn cho $ c=1,a=2 $
Bài này nếu giải được bằng SOS thì không dùng các tiêu chuẩn quen biết để giải được.Em làm cụ thể ra sẽ thấy.

07-10-2012, 11:06 AM	#1
quykhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: Cái nôi của phở Bài gởi: 259 Thanks: 78 Thanked 697 Times in 193 Posts	Bất đẳng thức ba biến Chứng minh rằng với mọi số thực dương $ a,b,c $ ta luôn có $$ \dfrac{a^4}{b^2} + \dfrac{b^4}{c^2} + \dfrac{c^4}{a^2} + 6(ab+bc+ca) \geq 7(a^2+b^2+c^2) $$ Bài toán có thể chứng minh bằng AM-GM __________________ The love make us weaker Autumn

08-10-2012, 08:51 PM	#2
hieu1411997 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: THPT Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 369 Thanks: 188 Thanked 255 Times in 158 Posts	Gợi ý: Phân tích S.O.S được thế này : $(a-b)^2\left(\frac{(a+b)^2}{b^2}-3\right)+(b-c)^2\left(\frac{(b+c)^2}{c^2}-3\right)+(c-a)^2\left(\frac{(c+a)^2}{a^2}-3\right)\ge 0 $ Giả sử $a\ge b \ge c $ Ta có $S_a,S_b\ge0 $... Dành cho bạn __________________ H

08-10-2012, 11:10 PM	#3
quykhtn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: Cái nôi của phở Bài gởi: 259 Thanks: 78 Thanked 697 Times in 193 Posts	$ S_b \geq 0 $ sai , chẳng hạn cho $ c=1,a=2 $ Bài này nếu giải được bằng SOS thì không dùng các tiêu chuẩn quen biết để giải được.Em làm cụ thể ra sẽ thấy. __________________ The love make us weaker Autumn