Thắc mắc về một bài giải của phương trình hàm

1110004 · 10-05-2015, 11:04 PM

Em xin trình bày một bài giải của PTH mà em có vấn đề không hiểu rõ lắm:

Tìm hàm $f$ thỏa $f(x)+f(y)=f(x+y)$, $f$ liên tục trên $R$.

(loại bài toán này rất cơ bản nhưng ở đây em trình bày một hướng giải khác nhưng có vẻ bị lỗi ở đâu thì phải)
Giải

Xét đoạn $\left[ {a;b} \right]$ bất kỳ do $f$ liên tục trên $R$ nên $f$ liên tục trên đoạn này. Từ đó ta được $f$ khả tích trên đây.

$\forall x;y \in \left[ {a;b} \right]:x + y \in \left[ {a;b} \right]$ ta có $\int\limits_a^b {f(x + y)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + (b - a)f(y)$

Đặt $t = x + y \Rightarrow dt = dx$

Ta được $\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + (b - a)f(y)$ (1)
$ \Rightarrow f(y) = \frac{{\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} - \int\limits_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}$
$\Rightarrow f(x)$ khả vi trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ do đó $f$ khả vi trên toàn trục số.

Lấy đạo hàm theo $x$ rồi theo $y$ ta được $f(x)=cx$. thử lại thấy thỏa.

Vấn đề mà em thấy thắc mắc là chổ (1) do trong chứng minh ta chỉ có giả thiết khả tích trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà khi đổi cần ta làm dịch chuyển đoạn đó rồi chắc gì hàm khả tích nữa (trong bài toán này nó đúng mới đau chứ vì $f$ liên tục trên $R$ mà). Nhưng nếu em giới hạn lại thì cách làm như thế có bị gì không ạ!!

Em cần khai thông cái này ạ!!

Galois_vn · 11-05-2015, 09:35 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 1110004

$ \Rightarrow f(y) = \frac{{\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} - \int\limits_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}$
$\Rightarrow f(x)$ khả vi trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ do đó $f$ khả vi trên toàn trục số.

Lấy đạo hàm theo $x$ rồi theo $y$ ta được $f(x)=cx$. thử lại thấy thỏa.

Khi làm rõ chi tiết "Lấy đạo hàm theo $x$ rồi theo $y$", bạn sẽ thấy điều bất ổn.

Nếu lấy đạo hàm theo biến $y$, ta sẽ có $(b-a)f'(y)= f(b+y)-f(a+y)$ thì cũng chưa kết luận ngày được $f(x)=cx$.

1110004 · 11-05-2015, 10:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Galois_vn

Khi làm rõ chi tiết "Lấy đạo hàm theo $x$ rồi theo $y$", bạn sẽ thấy điều bất ổn.

Nếu lấy đạo hàm theo biến $y$, ta sẽ có $(b-a)f'(y)= f(b+y)-f(a+y)$ thì cũng chưa kết luận ngày được $f(x)=cx$.

Không ạ, em chứng hàm khả vi rồi qua về cái giả thiết ban đầu lấy đạo hàm theo $x$, $y$ vừa nhanh vừa dễ ạ!

Cái em thắc mắc là đoạn mà em có khả tích đã bị tịnh tiến lên một chút rồi. Vậy nếu bài chỉ cho liên tục trên một khoảng hữu hạn nào đó là tiu rồi phải không ạ!

Galois_vn · 11-05-2015, 10:28 PM

OK! Nhầm ý của em (lấy đạo hàm không đúng chỗ).

Ý em là cho hàm xác định trên $\mathbb{R}$ nhưng chỉ liên tục trên $[a,b]$ phải không?

1110004 · 11-05-2015, 10:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Galois_vn

OK! Nhầm ý của em (lấy đạo hàm không đúng chỗ).

Ý em là cho hàm xác định trên $\mathbb{R}$ nhưng chỉ liên tục trên $[a,b]$ phải không?

Chính xác ạ! Thật ra ý tưởng của phương pháp là dùng tính liên tục chuyển về khả tích nhờ một điều kiện phụ nâng nó lên khả vi rồi quay về dùng đạo hàm theo 2 ẩn khác nhau. Giờ nó đang lấn cấn chổ em nói ạ, nếu qua chổ đó nhiều PTH có thể giải theo cách này lắm ạ!

99 · 12-05-2015, 05:28 AM

Tôi không hiểu lắm khi bạn lấy đạo hàm theo x thì tức là bạn có $f'(x) = f'(x+y)$ với mọi $y$ và như vậy đủ để suy ra $f$ là hàm bậc 1 rồi mà?

1110004 · 12-05-2015, 02:59 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 99

Tôi không hiểu lắm khi bạn lấy đạo hàm theo x thì tức là bạn có $f'(x) = f'(x+y)$ với mọi $y$ và như vậy đủ để suy ra $f$ là hàm bậc 1 rồi mà?

Dạ ở đó như vậy đúng rồi anh. Nhứng đoạn chứng minh khả vi hình như bị lỗi. Vì ta chỉ có $f$ khả tích trên đoạn $\left [ a;b \right ]$ khi làm ta làm tịnh tiến đoạn đó lên chắc gì nó vẫn khả tích mà tính tích phân!

(Đoạn chứng minh khả vi mà đúng thì mọi thứ coi như xong rồi ạ đó là chổ em thắc mắc đó ạ!)

99 · 12-05-2015, 05:51 PM

Khi bạn cảm thấy chưa ổn, thì bạn nên kiểm tra lại tất cả những chỗ mà bạn đã làm tắt, vì bạn cho là dễ thấy. Ví dụ ngay chỗ suy ra $f$ khả vi đã làm chi tiết chưa. Tôi nhìn chỗ đó thì thấy bạn làm đúng rồi. Và như vậy nên rút ra kinh nghiệm là trong Toán không nên làm tắt, thực ra lại mất thời gian hơn.

Tuy nhiên, nếu $f$ là hàm liên tục thì bạn đã chứng minh được ngay lập tức $f$ có dạng $cx$ rồi nhờ việc tập $\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R},$ thành ra rất có thể những đoạn chứng minh khả vi của bạn chỉ là hệ quả thôi, chứ không chắc chắn là "cách khác".

10-05-2015, 11:04 PM	#1
1110004 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Bài gởi: 140 Thanks: 296 Thanked 62 Times in 36 Posts	Thắc mắc về một bài giải của phương trình hàm Em xin trình bày một bài giải của PTH mà em có vấn đề không hiểu rõ lắm: Tìm hàm $f$ thỏa $f(x)+f(y)=f(x+y)$, $f$ liên tục trên $R$. (loại bài toán này rất cơ bản nhưng ở đây em trình bày một hướng giải khác nhưng có vẻ bị lỗi ở đâu thì phải) Giải Xét đoạn $\left[ {a;b} \right]$ bất kỳ do $f$ liên tục trên $R$ nên $f$ liên tục trên đoạn này. Từ đó ta được $f$ khả tích trên đây. $\forall x;y \in \left[ {a;b} \right]:x + y \in \left[ {a;b} \right]$ ta có $\int\limits_a^b {f(x + y)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + (b - a)f(y)$ Đặt $t = x + y \Rightarrow dt = dx$ Ta được $\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + (b - a)f(y)$ (1) $ \Rightarrow f(y) = \frac{{\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} - \int\limits_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}$ $\Rightarrow f(x)$ khả vi trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ do đó $f$ khả vi trên toàn trục số. Lấy đạo hàm theo $x$ rồi theo $y$ ta được $f(x)=cx$. thử lại thấy thỏa. Vấn đề mà em thấy thắc mắc là chổ (1) do trong chứng minh ta chỉ có giả thiết khả tích trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà khi đổi cần ta làm dịch chuyển đoạn đó rồi chắc gì hàm khả tích nữa (trong bài toán này nó đúng mới đau chứ vì $f$ liên tục trên $R$ mà). Nhưng nếu em giới hạn lại thì cách làm như thế có bị gì không ạ!! Em cần khai thông cái này ạ!! thay đổi nội dung bởi: 1110004, 10-05-2015 lúc 11:08 PM

11-05-2015, 10:28 PM	#4
Galois_vn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts	OK! Nhầm ý của em (lấy đạo hàm không đúng chỗ). Ý em là cho hàm xác định trên $\mathbb{R}$ nhưng chỉ liên tục trên $[a,b]$ phải không? thay đổi nội dung bởi: Galois_vn, 11-05-2015 lúc 10:31 PM

12-05-2015, 05:28 AM	#6
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Tôi không hiểu lắm khi bạn lấy đạo hàm theo x thì tức là bạn có $f'(x) = f'(x+y)$ với mọi $y$ và như vậy đủ để suy ra $f$ là hàm bậc 1 rồi mà?

12-05-2015, 05:51 PM	#8
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Khi bạn cảm thấy chưa ổn, thì bạn nên kiểm tra lại tất cả những chỗ mà bạn đã làm tắt, vì bạn cho là dễ thấy. Ví dụ ngay chỗ suy ra $f$ khả vi đã làm chi tiết chưa. Tôi nhìn chỗ đó thì thấy bạn làm đúng rồi. Và như vậy nên rút ra kinh nghiệm là trong Toán không nên làm tắt, thực ra lại mất thời gian hơn. Tuy nhiên, nếu $f$ là hàm liên tục thì bạn đã chứng minh được ngay lập tức $f$ có dạng $cx$ rồi nhờ việc tập $\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R},$ thành ra rất có thể những đoạn chứng minh khả vi của bạn chỉ là hệ quả thôi, chứ không chắc chắn là "cách khác".