Xét tính hội tụ của chuỗi

[einstein1996]

Cho $a>0$, xét xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ:
$$S=\sum_{n=0}^\infty{(\cos\frac{a}{2n})}^{n^3}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi einstein1996

Cho $a>0$, xét xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ:
$$S=\sum_{n=0}^\infty{(\cos\frac{a}{2n})}^{n^3}$$

Do
$$\lim_{n\to \infty} n^2 \ln \left(\cos \frac{a}{2n}\right) = -\frac{a^2} 8 < 0,$$
nên tồn tại $n_0$ sao cho
$$n^2 \ln \left(\cos \frac{a}{2n}\right) \leq -\frac{a^2}{16},\quad \forall\, n \geq n_0,$$
hay là
$$\left(\cos \frac{a}{2n}\right)^{n^3} \leq e^{-\frac{a^2}{16} \, n},\quad\forall\, n\geq n_0.$$
Do đó chuỗi hội tụ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LãngTử_MưaBụi]

Nguyên văn bởi einstein1996

Cho $a>0$, xét xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ:
$$S=\sum_{n=0}^\infty{(\cos\frac{a}{2n})}^{n^3}$$

Ta có :
$cos\frac{a}{2n}< 1-\frac{a^2}{8}=\varepsilon < 1$

$\Rightarrow cos\frac{a}{2n})^{n^3}< (\varepsilon ^3)^n$

$\sum_{n=1}^{n=+\infty}(\varepsilon ^3)^n$ Hội tụ theo cấp số nhân
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi LãngTử_MưaBụi

Ta có :
$cos\frac{a}{2n}< 1-\frac{a^2}{8}=\varepsilon < 1$

$\Rightarrow cos\frac{a}{2n})^{n^3}< (\varepsilon ^3)^n$

$\sum_{n=1}^{n=+\infty}(\varepsilon ^3)^n$ Hội tụ theo cấp số nhân

Khi $n$ ra vô cùng thì $\cos \frac{a}{2n}$ hội tụ đến $1$ nên bất đẳng thức $\cos\frac{a}{2n}< 1-\frac{a^2}{8}$ không đúng khi $n$ đủ lớn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]