Tìm giới hạn

blm · 31-05-2015, 04:32 PM

Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln \left(\dfrac{2+k}{n}\right)+n+1\right) $

123456 · 01-06-2015, 10:25 PM

Trích:

Nguyên văn bởi blm

Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln \left(\dfrac{2+k}{n}\right)+n+1\right) $

Bài này dùng công thức Sterling sẽ thu được giới hạn là $+\infty$.

**portgas_d_ace** · 02-06-2015, 07:03 AM

Cụ thể như sau:
Ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {\ln \left( {\frac{{2 + k}}{n}} \right)} } \right] + n + 1} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {\left( {n + 2} \right)!} \right]} \right\}\]
Áp dụng bất đẳng thức sau $k! > e{\left( {\dfrac{k}{e}} \right)^k}$ ta sẽ có:
\begin{align*}
n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {\left( {n + 2} \right)!} \right] &> n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {e{{\left( {\frac{{n + 2}}{e}} \right)}^{n + 2}}} \right] \\
& = - n\ln n + n\ln \left( {n + 2} \right) - \ln n + 2\ln \left( {n + 2} \right)\\
& = n\ln \left( {1 + \frac{2}{n}} \right) + \ln \left( {\frac{{{n^2} + 4n + 4}}{n}} \right)
\end{align*}
Mặc khác:
\[\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\ln \left( {1 + \frac{2}{n}} \right) = 2 \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \ln \left( {\frac{{{n^2} + 4n + 4}}{n}} \right) = + \infty \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\ln \left( {1 + \frac{2}{n}} \right) + \ln \left( {\frac{{{n^2} + 4n + 4}}{n}} \right)} \right] = + \infty \]
Do đó
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {\ln \left( {\frac{{2 + k}}{n}} \right)} } \right] + n + 1} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {\left( {n + 2} \right)!} \right]} \right\} = + \infty \]

31-05-2015, 04:32 PM	#1
blm +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 10 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 1 Post	Tìm giới hạn Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln \left(\dfrac{2+k}{n}\right)+n+1\right) $

02-06-2015, 07:03 AM	#3
portgas_d_ace Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 506 Thanks: 160 Thanked 189 Times in 160 Posts	Cụ thể như sau: Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {\ln \left( {\frac{{2 + k}}{n}} \right)} } \right] + n + 1} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {\left( {n + 2} \right)!} \right]} \right\}\] Áp dụng bất đẳng thức sau $k! > e{\left( {\dfrac{k}{e}} \right)^k}$ ta sẽ có: \begin{align} n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {\left( {n + 2} \right)!} \right] &> n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {e{{\left( {\frac{{n + 2}}{e}} \right)}^{n + 2}}} \right] \\ & = - n\ln n + n\ln \left( {n + 2} \right) - \ln n + 2\ln \left( {n + 2} \right)\\ & = n\ln \left( {1 + \frac{2}{n}} \right) + \ln \left( {\frac{{{n^2} + 4n + 4}}{n}} \right) \end{align} Mặc khác: \[\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\ln \left( {1 + \frac{2}{n}} \right) = 2 \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \ln \left( {\frac{{{n^2} + 4n + 4}}{n}} \right) = + \infty \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\ln \left( {1 + \frac{2}{n}} \right) + \ln \left( {\frac{{{n^2} + 4n + 4}}{n}} \right)} \right] = + \infty \] Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {\ln \left( {\frac{{2 + k}}{n}} \right)} } \right] + n + 1} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left\{ {n - \left( {n + 1} \right)\ln n + \ln \left[ {\left( {n + 2} \right)!} \right]} \right\} = + \infty \] __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -