Việt Nam Team Selection Test 2011-Đề thi, Đáp án và Danh sách Đội tuyển

[Mr Stoke]

Bài 6 bạn gì ở trên giải sai. Để giải bài này các em theo hướng làm như sau:

Viết thành $(2^{n+1}-1)^2-x^2=8.3^n $. Vế trái là tích của hai biểu thức, do đó từng biểu thức có dạng $4.3^u $ và cái còn lại là $2. 3^{n-u} $. Sử dụng nx $2^k-1 $ chia hết cho 9 thì k chia hết cho $6 $. Phân tích $2^{n+1}-1=(2^{(n+1)/3}-1)A $ rồi xét mod 3 (chú ý ước lượng được u theo n). Dẫn về pt Catalan : $2^x-3^y=\pm1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

*) Với $n\leq 5 $ dễ thấy $n=3,5 $.
*) Với $n>5 $.
$(2^{n+1}-1)^2-8.3^n=a^2 $
$(2^{n+1}+a-1)(2^{n+1}-a-1)=8.3^n $
Do đó tồn tại $l $ sao cho:
$2^{n+1}-1=3^l+2.3^{n-l} $.
Trường hợp $l=0,n $, ta có các phương trình:
$2^{n+1}-1=1+2.3^n $.
$2^{n+1}-1=3^n+2 $.
Trường hợp $l\neq 0,n $ suy ra:
$n $ lẻ, $l $ chẵn.
*) Nếu $3^l+2.3^{n-l}\vdots 3^3 $, suy ra $2^{n+1}-1\vdots 3^3 $.
Suy ra $n+1\vdots 2.3^2 $.
$\Rightarrow 2^{n+1}-1\vdots 2^{18}-1\vdots 2^9+1\vdots 2^6-2^3+1\vdots 19 $.
$\Rightarrow 19|3^l+2.3^{n-l} $.
Từ đó dễ thấy tồn tại số nguyên dương $x $ sao cho: $19|x^2+6 $, điều này là vô lý.
$\Rightarrow min(l,n-l)=1,2 $.
Ta đưa về các phương trình:
$2^{n+1}-1=3+2.3^{n-1} $
$2^{n+1}-1=9+2.3^{n-2} $
$2^{n+1}-1=3^{n-1}+6 $
$2^{n+1}-1=3^{n-2}+18 $
Dễ thấy tất cả đều vô nghiệm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Nguyên văn bởi chemthan

*) Với $n\leq 5 $ dễ thấy $n=3,5 $.
*) Với $n>5 $.
$(2^{n+1}-1)^2-8.3^n=a^2 $
$(2^{n+1}+a-1)(2^{n+1}-a-1)=8.3^n $
Do đó tồn tại $l $ sao cho:
$2^{n+1}-1=3^l+2.3^{n-l} $.
Trường hợp $l=0,n $, ta có các phương trình:
$2^{n+1}-1=1+2.3^n $.
$2^{n+1}-1=3^n+2 $.
Trường hợp $l\neq 0,n $ suy ra:
$n $ lẻ, $l $ chẵn.
*) Nếu $3^l+2.3^{n-l}\vdots 3^3 $, suy ra $2^{n+1}-1\vdots 3^3 $.
Suy ra $n+1\vdots 2.3^2 $.
$\Rightarrow 2^{n+1}-1\vdots 2^{18}-1\vdots 2^9+1\vdots 2^6-2^3+1\vdots 19 $.
$\Rightarrow 19|3^l+2.3^{n-l} $.
Từ đó dễ thấy tồn tại số nguyên dương $x $ sao cho: $19|x^2+6 $, điều này là vô lý.
$\Rightarrow min(l,n-l)=1,2 $.
Ta đưa về các phương trình:
$2^{n+1}-1=3+2.3^{n-1} $
$2^{n+1}-1=9+2.3^{n-2} $
$2^{n+1}-1=3^{n-1}+6 $
$2^{n+1}-1=3^{n-2}+18 $
Dễ thấy tất cả đều vô nghiệm.

em nghĩ là chỉ đúng khi $l\leq n- l $ thôi ạ.
TH còn lại là $19|6x^2 +1 $ hay tồn tại $x $ mà $19|x^2 -3 $, cũng vô lí
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Nguyên văn bởi can_hang2008

Mot so chu y cho bai 3:
+ Loi giai cua chemthan can phai chinh lai mot chut thi moi thanh loi giai dung duoc.
+ Bai nay goi cho minh den bai chon doi tuyen Mi nam 1999: Cho $n>3,\;n\in \mathbb N $ va $a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n $ la cac so thuc thoa man $a_1+a_2+\cdots+ a_n \ge n $ va $a_1^2+a_2^2+\cdots+ a_n^2 \ge n^2. $ Chung minh rang $\max\{a_1,\;a_2,\;\ldots,\; a_n\} \ge 2. $
O bai chon doi tuyen Mi nay, minh cung da su dung pp nhu tren de giai no (nhung can phai ket hop voi phan chung).

Bài VNTST chỉ là biến đổi một chút là ra USTST thôi
chỉ cần đặt $x_i = a_i - 1 $ thì $a_1 + a_2 + ...+a_n = n $ và $a_1^2+...+a_n^2 = n^2 $ và $a_1\ge a_2\ge...\ge a_n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Nguyên văn bởi nicksterse

Thứ nhất, bài số học là $2^{n+2}*(2^{n}-1)-8*3^{n}+1 $, và n=3, n=5 là hai nghiệm, chứ không phải vô nghiệm.

Thứ hai ,bài số 6 không phải là "ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau" mà là thượng đế chọn tùy ý một trong những em có bạn ngồi ngay bên phải ít kẹo hơn. Chứng minh sau hữu hạn lần sẽ có số kẹo các bạn bằng nhau. Không phải "ta có thể làm", mà là "luôn luôn có". Chỉ ra một phương án không phải là ý tưởng của bài toán. Để hiểu ý tưởng bài toán khó thế nào, xét trường hợp các bạn chỉ có t hoặc t+1 viên kẹo.

Chém gió vừa thôi nhé các bác.

Ừm, nhầm đề thôi. Dùng ý tưởng tương tự.

Ở đây tôi giả sử rằng mỗi lần chỉ chuyển 1 cái kẹo, nếu không giới hạn số kẹo được chuyển thì bài toán ko đúng.

Kết quả 1: Với trạng thái các học sinh giữ số kẹo không bằng nhau. Giử sử $m $ là min số kẹo và $M $ là max số kẹo mà các học sinh giữ. Ta sẽ chứng minh rằng: sau một số bước chuyển kẹo thì hoặc số học sinh giữ $m $ cái kẹo giảm đi 1 hoặc số học sinh giữ $M $ cái kẹo giảm đi $1 $. Với chú ý là $M-m\ge 2 $

Chứng minh:
Giử sử là số học sinh giữ $m $ cái kẹo và số học sinh giữ $M $ cái kẹo không giảm đi, khi đó ta có nhận xét:

Nhận xét 1: vị trí của các học sinh giữ $m $ cái kẹo di chuyển theo chiều kim đồng hồ. Vị trí của các học sinh giữ $M $ cái kẹo di chuyển theo ngược chiều kim đồng hồ.

Chứng minh nhận xét 1: Nếu các vị trí của các học sinh giữ $m $ kẹo và $M $ kẹo không thay đổi thì ta chỉ có thể thực hiện được hữu hạn bước, bởi vì các kẹo sẽ bị dồn phía ngược chiều kim đồng hồ. Nhưng nó lại bị chặn bởi một học sinh giữ $m $ kẹo nào đó mà người này không nhận được kẹo. Vậy có nghĩa là học sinh giữ m kẹo nào đó sẽ nhận được 1 kẹo, nhưng do giả thiết là số học sinh giữ $m $ kẹo không đổi, nên học sinh bên trái học sinh này giữ $m+1 $ kẹo, sau khi chuyển kẹo sẽ có người bên phải $m+1 $ và người bên trái $m $, có nghĩa là vị trí của học sinh giữ $m $ kẹo di chuyển theo chiều kim đồng hồ.
Tương tự ta có vị trí của học sinh giữ $M $ kẹo di chuyển theo ngược chiều kim đồng hồ.

Hiển nhiên là sau một số hữu hạn lần thì sẽ phải xảy ra một bước chuyển kẹo của 2 học sinh kề nhau với học sinh bên trái giữ $M $ và học sinh bên phải giữ $m $, và trạng thái tiếp theo thì số học sinh giữ $m $ kẹo giảm đi $1 $, và số học sinh giữ $M $ kẹo giảm đi $1 $. kết quả 1 được chứng minh.

Từ kết quả 1 thì bài toán được được chứng minh. Và ta có sau một số hữu hạn bước ta phải có $m = M = k $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[socialnetwork]

Ở bài 1 làm sao cm nếu m và n nguyên tố cùng nhau thì điểm A(m,n) thỏa mãn đề bài nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[h19101994]

Bạn à,để đi đến (m,n)=1 với thì phải dùng quy nạp.
------------------------------

Nguyên văn bởi chemthan

Quy nạp chứng minh $a_{n+1}=4a_n-2a_{n-1} $.
$\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}+2a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+2}+2a_n} $.
$\Rightarrow a_n(a_{n+2}+2a_n)=a_{n+1}(a_{n+1}+2a_{n-1}) $
$\Rightarrow a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=2(a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2) $.

Em biết anh làm thế là đúng nhưng chứng minh $a_{n+1}=4a_n-2a_{n-1} $ dễ không anh?
Xin lỗi,,,,,,,,,
------------------------------
Cho mình hỏi: bao giờ có kết quả TST năm nay............
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Chỉ có không quá một dãy thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Vậy ta chứng minh dãy có hai số hạng đầu giống dãy trong đầu bài và công thức truy hồi là công thức chemthan dự đoán thỏa mãn các giả thiết của đầu bài là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Chec]

Bạn cho biết lấy đi cái gì (bao nhiêu kẹo) chuyển cho người bạn bên phải? Đề bài có vẻ không rõ ràng.

Có n học sinh ngồi quanh một bàn tròn,trong tay mỗi học sinh có một số kẹo sao cho tổng số kẹo của n học sinh đang ngồi quanh bàn tròn là một bội số của n.Ta thực hiện một quy tắc chuyển kẹo như sau,nếu có một học sinh có số kẹo lớn hơn số kẹo của người bạn bên tay phải mình thì ta sẽ lấy đi của người đó chuyển sang cho người bạn bên tay phải.
Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các bước ,ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Cái đề này có lâu rồi mà các anh em đi thi về không chịu sửa lỗi giúp gì cả. Cái Bài 1 cũng thế!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Bài số vẫn ý tưởng rõ ràng là phân tích thành tích rồi suy ra hệ như bạn pth_tdn ( #24). Sau đó cộng vế với vế và sử dụng tính chất $3^3 \not| 2^n-1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Đề chính xác do mình xin được đây rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Nguyên văn bởi Traum

Bài VNTST chỉ là biến đổi một chút là ra USTST thôi
chỉ cần đặt $x_i = a_i - 1 $ thì $a_1 + a_2 + ...+a_n = n $ và $a_1^2+...+a_n^2 = n^2 $ và $a_1\ge a_2\ge...\ge a_n $

Không thể nói là ra USTST được vì giả thiết của hai bài không hoàn toàn giống nhau và yêu cầu chứng minh cũng không giống nhau (dù cách làm thì giống).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Tôi nghĩ bài Vietnam TST khó hơn bài USA TST 1 chút, vì phải theo dõi 2 thằng $x_1, x_2 $. Còn cái khó của USA là chỉ có bất đẳng thức.

(Cảm ơn Cẩn đã fix lỗi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Nguyên văn bởi namdung

Bài Vietnam TST khó hơn bài USA TST nhiều chứ. Bài USA chỉ vài dòng: $(n-x_n)^2 = (x_1 + ... + x_{n-1})^2 \le (n-1)(x_1^2+...+x_n^2) = (n-1)(n^2-x_n^2) $ Suy ra $2 - n \le x_n \le n $. Bây giờ ta có $(n-1)x_1 + x_n \ge n $. Suy ra $x_1 \ge 2 $ (đpcm).

Mình không thể làm như thế này được thầy ạ. Vì giả thiết của của bài USA là $\ge $ chứ không phải $=. $

Hơn nữa nếu giả thiết là $= $ thì từ sự kết hợp hai bất đẳng thức $2-n \le x_n \le n $ và $(n-1)x_1+x_n \ge n, $ ta chỉ có thể suy ra $x_1 \ge 0 $ thôi ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]