Phương trình hàm trên $\mathbb{R}$

[DenisO]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f\left ( f\left ( x \right )+2f\left ( y \right ) \right )=f\left ( x \right )+f\left ( y \right )+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tson1997]

Nguyên văn bởi DenisO

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f\left ( f\left ( x \right )+2f\left ( y \right ) \right )=f\left ( x \right )+f\left ( y \right )+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

$$f\left ( f\left ( x \right )+2f\left ( y \right ) \right )=f\left ( x \right )+f\left ( y \right )+y,\forall x,y\in \mathbb{R} (1)$$

+/Từ (1) ta suy ra f là đơn ánh

+/Trong (1) thay y bởi -f(x) ta có :

$f(f(x)+2f(-f(x)))=f(-f(x))$ $\forall x \in \mathbb{R}$

Kết hợp với f là đơn ánh ta suy ra

$f(-f(x))=-f(x) , \forall x \in \mathbb{R}$ (2)

+/Trong (1) thay x bởi -f(x),kết hợp với (2) ta có:

$f(-f(x)+2f(y))=-f(x)+f(y)+y, \forall x,y \in \mathbb{R}$ (3)

Trong (3) ta thay y bởi f(x),ta có:

$f(-f(x)+2f(f(x)))=f(f(x)) , \forall x \in \mathbb{R}$

Kết hợp với f đơn ánh ta có:

$-f(x)+2f(f(x))=f(x) ,\forall x \in \mathbb{R} $

hay $f(f(x))=f(x),\forall x \in \mathbb{R}$

do f đơn ánh nên $f(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]