Tìm min

Baghdadi · 07-10-2014, 09:54 PM

Cho a,b>0 và $(a^2+b^2)(ab-1)=2ab^3$.Tìm min
F= $a^2 + b^2 + \frac{2}{a^2+b^2} - 2$

Nvthe_cht. · 08-10-2014, 12:00 AM

Bài toán chỉ cần tìm chặn dưới hoặc trên cho $a^2+b^2$ là xong. Thật vậy,
Giả thiết đã cho tương đương với:
$ a^2+b^2=ab(a^2-b^2)$.
Từ đây, bình phương lên ta thu được:
$ (a^2+b^2)^2=a^2b^2(a^2-b^2)^2 $
$=a^2b^2( (a^2+b^2)^2-4a^2b^2)$
đặt: $t=(a^2+b^2)^2$ thì:
$ t=a^2b^2(t-4a^2b^2) $ đến đây rút $ t $ bằng 1 hàm theo $ xy $, sử dụng đánh giá min max cho hàm đó, ta thu được: $ t \ge 16 $. Suy ra $ a^2+b^2 \ge 4$.

hieut1k24 · 08-10-2014, 05:31 PM

Mình giải cách khác coi đúng k nha
Giả thiết đã cho tương đương
a^2+b^2=ab(a^2-b^2)
Áp dụng bđt côsi ta có
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+4a^2*b^2>=4ab(a^2-b^2)=4(a^2+b^2)
Suy ra a^2+b^2>=4

minhhuyent1k24 · 08-10-2014, 08:37 PM

Biến đôi giả thiết ta được $ a^2+b^2=ab(a-b)(a+b)=(a^2-ab)(b^2+ab)$
aps dụng bất đẳng thức cô si được $a^2+b^2\geq 4$

07-10-2014, 09:54 PM	#1
Baghdadi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Bài gởi: 2 Thanks: 5 Thanked 0 Times in 0 Posts	Tìm min Cho a,b>0 và $(a^2+b^2)(ab-1)=2ab^3$.Tìm min F= $a^2 + b^2 + \frac{2}{a^2+b^2} - 2$

08-10-2014, 12:00 AM	#2
Nvthe_cht. +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2013 Bài gởi: 69 Thanks: 15 Thanked 36 Times in 24 Posts	Bài toán chỉ cần tìm chặn dưới hoặc trên cho $a^2+b^2$ là xong. Thật vậy, Giả thiết đã cho tương đương với: $ a^2+b^2=ab(a^2-b^2)$. Từ đây, bình phương lên ta thu được: $ (a^2+b^2)^2=a^2b^2(a^2-b^2)^2 $ $=a^2b^2( (a^2+b^2)^2-4a^2b^2)$ đặt: $t=(a^2+b^2)^2$ thì: $ t=a^2b^2(t-4a^2b^2) $ đến đây rút $ t $ bằng 1 hàm theo $ xy $, sử dụng đánh giá min max cho hàm đó, ta thu được: $ t \ge 16 $. Suy ra $ a^2+b^2 \ge 4$.

08-10-2014, 05:31 PM	#3
hieut1k24 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Bài gởi: 70 Thanks: 12 Thanked 24 Times in 23 Posts	Mình giải cách khác coi đúng k nha Giả thiết đã cho tương đương a^2+b^2=ab(a^2-b^2) Áp dụng bđt côsi ta có (a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+4a^2*b^2>=4ab(a^2-b^2)=4(a^2+b^2) Suy ra a^2+b^2>=4

08-10-2014, 08:37 PM	#4
minhhuyent1k24 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Bài gởi: 3 Thanks: 1 Thanked 5 Times in 3 Posts	Biến đôi giả thiết ta được $ a^2+b^2=ab(a-b)(a+b)=(a^2-ab)(b^2+ab)$ aps dụng bất đẳng thức cô si được $a^2+b^2\geq 4$