|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
05-05-2011, 11:17 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 27 Thanks: 2 Thanked 22 Times in 11 Posts | Một bổ đề có khá nhiều ứng dụng Cái bổ đề này chắc 1 số anh cũng đã biết rồi,nhưng mà ứng dụng thì em cũng chưa biết hiết: Cho $a,b $ là 2 số nguyên,$(a,b)=1 $ và $n $ nguyên dương,khi đó: a)nếu $(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $ b)nếu $(\frac{a^n+b^n}{a+b},a+b) = (n,a+b) $ VÀ SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ: 1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $ Chứng minh:$a^n-b^n = (a-b).(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $ $\Rightarrow v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $ Ta chứng minh: $v_p(n)=v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $. Ta có:$(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $ *TH1:$v_p(n)<v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(n) $ $\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n) $ suy ra dpcm *TH2:$v_p(n)>v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(a-b) $ $\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})>v_p(a-b) $.Mặt khác: $\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-2}+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1} $$=k(a-b)+nb^{n-1} $ $\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})<v_p(a-b) $(vô lí) suy ra dpcm 2.Chứng minh 2 điều kiện sau là tương đương: $(2^m-1)^2 \mid 2^n-1 $ và $m(2^m-1) \mid n $ Chứng minh:ta có $2^{kn}-1=(2^n-1)(2^{n(k-1}+...+1) $ $\Rightarrow 2^n -1 \mid 2^{kn-1} $.Vì vậy: $2^{kn+d}-1\equiv2^d-1(mod 2^n-1) $ $\Rightarrow 2^m-1 \mid 2^n-1 \Leftrightarrow m \mid n $.Với $n=km $,ta có: $\frac{2^{km}-1}{2^m-1} \equiv k(mod 2^n-1) $ $\Rightarrow k=\frac{n}{m} $ chia hết cho $2^m-1 \Leftrightarrow m(2^m-1) \mid n $ 3.Chứng minh nếu $n $ là số nguyên dương thỏa mãn $3^n-2^n = p^k $ với $p $ nguyên tố thì $n $ là số nguyên tố. Chứng minh:ta cm bằng quy nạp theo $k $: +với $k=1 $,ta có $3^n-2^n=p $.Giả sử n là hợp số $\Rightarrow n= ab $,do đó $1<3^a-2^a<p $ và$(3^a-2^a) \mid p $,vô lí vì $p $ nguyên tố,vậy n là số nguyên tố +giả sử bài toán đúng cho mọi số nguyên $k\leh $.Ta chứng minh bài toán đúng với $k=h+1 $.Thật vậy,ta có $3^n-2^n=p^{h+1} $,giả sử $n $ là hợp số thì có 2 TH: _TH1:$n=cd $ với $c $ là hợp số nhỏ hơn$n $,khi đó ta có $3^c-2^c=p^i $ với $i\leh $ nhưng điều nay trái với giả thiết quy nạp.Vậy TH này không xảy ra _TH2:$n=st $ với $s,t $ là các số nguyên tố,khi đó ta có: $e=(\frac{3^n-2^n}{3^s-2^s},3^s-2^s})=(\frac{(3^s)^t-(2^s)^t}{3^s-2^s}=(t,3^s-2^s) $ (4). Do $n>s $ và $3^n-2^n,3^s-2^s $ đều là các lũy thừa với số mũ dương của $p $ nên $e $ cũng là lũy thừa với số mũ dương của $p $.Kết hợp với (4) ta có $p=t $,tương tự $s=p $.Như vậy $3^{p^2}-2^{p^2}=p^{h+1} \Rightarrow 3^{p^2} \equiv 2^{p^2}(mod p) $ mặt khác từ định lý Fermat thì $3^{p^2} \equiv 3^p(mod p) $ và tương tự cho $2^{p^2} $ nên ta có $3\equiv2(mod p) $,vô lí.Vậy TH này cũng không xảy ra $\Rightarrow $ dpcm thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 06-05-2011 lúc 10:50 AM Lý do: latex |
The Following 9 Users Say Thank You to xuanhai_10t2 For This Useful Post: | Anh Khoa (06-05-2011), Combinatorial@ (10-11-2011), hanamichi1302 (05-08-2011), huynhcongbang (05-05-2011), leviethai (06-05-2011), long_chau2010 (13-05-2011), magic. (20-05-2011), phamtoan (05-05-2011), trungno (24-11-2013) |
06-05-2011, 10:36 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 27 Thanks: 2 Thanked 22 Times in 11 Posts | Bài toán sau dù không cần phải sử dụng bổ dề trên nhưng nó cũng cho ta ý tưởng để đưa về dạng $\frac{a^n-b^n}{a-b} $ 4.Cho $x,y,p,n,k $ là các số nguyên dương thỏa mãn: $x^n+y^n=p^k $.Chứng minh nếu $n $ lẻ và p là số nguyên tố thì $n $ là lũy thừa của $p $. Chứng minh:Đặt $m=gcd(x,y) $.Từ đó ta có $x=mx_1,y=my_1 $.Từ cách đặt ta có $m^n(x^n_1+y^n_1)=p^k $,từ đó có $m=p^a $ với $a $ nguyên dương.Từ đó: $x^n_1+y^n_1=p^{k-na} $ (1).vÌ $n $ lẻ nên $\frac{x^n_1+y^n_1}{x_1+y_1}=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1y_1+...+y^{n-1}_1=A $ (2) Từ đó ta có:$A(x_1+y_1)=p^{k-na} $ suy ra $x_1+y_1=p^b $ với $b $ nguyên dương nào đó.Tư đó: $A=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1(p^b-x_1)+...+(p^b-x_1)^{n-1} $ $=nx^{n-1}_1+Bp $.Có $A $ chia hết cho $p $ mà $(x_1,p)=1 $ nên ta có $n $ chia hết cho $p $ suy ra $n=pq $.Từ đó ta có:$x^{pq}+y^{pq}=p^k $ hay $(x^p)^q+(y^p)^q=p^k $.Bằng lí luận tương tự thì $p $ cũng chia hết cho $q $ ,nếu $q=1 $ thì $n=p $.Nếu $p=q $ thì $n=p^2 $ suy ra dpcm ------------------------------ Ngoài ra ,hệ quả của bổ đề-bài toán 1 cũng có khá nhiều ứng dụng,cụ thể như sau: Trước hết ,đây là 2 hệ quả rất hay dùng: 1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $ với $p>2 $ 2.$v_2(a^n-b^n)=v_2(\frac{a^2-b^2}{2})+v_2(n) $ (p=2) ỨNG DỤNG: 1.Có tồn tại hay không số nguyên $n $ thỏa mãn $n $ có đúng 2000 ước nguyên tố và $2^n+1 $ chia hết cho $n $ 2.$(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ chia hết cho $p^n $ với $n $ chia hết cho $p $ với $p $ nguyên tố Chứng minh:Từ hệ quả 1,ta có nếu $p^k \mid a-b $ thì $p^{k+m} \mid a^{sp^m}-b^{sp^m} $. Đặt $a=(n-1)^{n^2},b=-(n+1)^{n^2} $ suy ra $a^{n^{n-1}}-b^{n^{n-1}}=(n-1)^{n^{n-1}}+(n+1)^{n^{n+1}} $ mà $a-b $ chia hết cho $n $ suy ra $p \mid a-b $ nên $p^n \mid a^{sp^{n-1}}-b^{sp^{n-1}}=(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ với $s=(\frac{n}{p})^{n-1} $ thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 06-05-2011 lúc 11:16 AM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following 2 Users Say Thank You to xuanhai_10t2 For This Useful Post: | hanamichi1302 (05-08-2011), magic. (20-05-2011) |
08-05-2011, 04:10 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 27 Thanks: 2 Thanked 22 Times in 11 Posts | Lại thêm một ứng dụng nữa của bổ đề trên: Bài 6:tìm tất cả các bộ $(x,y,n) $ thỏa mãn $(x,n+1)=1 $ và $x^n+1=y^{n+1} $ Giải:có $x^n=y^{n+1}-1=(y-1)m $ với $m=y^n+y^{n-1}+..+1 $.Do đó $x^n $ chia hết cho$m $,ta có: $m=(y-1)(y^{n-1}+2y^{n-2}+3y^{n-3}+...+(n-1)y+n)+(n+1) $ nên $n+1 $ chia hết cho $(m,y-1) $,mặt khác từ bổ đề suy ra $(m,y-1)=(n+1,y-1) $,từ đó ta có $n+1 $ chia hết cho$(y-1,n+1) $ nên $(m,y-1)=1 $.Vì $x^n=(y-1)m $ nên $m $ là lũy thừa của mốt số nguyên,nhưng: $y^n<m<(y+1)^n=y^n+C^1_ny^{n-1}+..+C^{n-1}_ny+1 $ với mọi $n>1 $ suy ra $n=1 $ và $x=y^2-1 $.Do $(x,n+1)=(x,2)=1 $ nên $x $ lẻ và $y $ chẵn.Có nghĩa là tất cả các cặp số cần tìm có dạng $(a^2-1,a,1) $,trong đó $a $ là một số chẵn thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 08-05-2011 lúc 04:11 PM Lý do: sửa đề |
The Following 3 Users Say Thank You to xuanhai_10t2 For This Useful Post: |
04-10-2011, 05:10 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2009 Bài gởi: 14 Thanks: 1 Thanked 5 Times in 4 Posts | Bạn sao không tạo thành 1 file luôn cho mọi người tiện theo dõi tớ thấy vấn đề này rất hay |
10-11-2011, 01:45 PM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Bài gởi: 7 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
$v_p(n) $ nghĩa là gì hả bạn?? | |
10-11-2011, 02:35 PM | #6 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Là số mũ của $p $ trong phân tích tiêu chuẩn của $n $. __________________ M. |
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post: | Htht_love_ntl (11-11-2011) |
18-12-2011, 10:36 PM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 12 Thanks: 5 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
| |
Bookmarks |
|
|