Bài 1 IMO 2008

[anhvu]

Mình thấy hầu hết mọi người giải bài này bằng phương tích.Mình có lời giải khác muốn post lên để mọi người cho nhận xét.Xin nhắc lại đề bài (đã chỉnh sửa) để mọi người dễ theo dõi:
Cho tam giác ABC,trực tâm H;M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB.(M,MH) cắt BC tại ${A}_{1} $,${A}_{2} $.Tương tự có${B}_{1},{B}_{2},{C}_{1},{C}_{2} $.CMR:${A}_{1},{A}_{2},{B}_{1},{B}_{2},{C}_{1},{C}_{2} $ nằm trên một đuờng tròn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[anhvu]

Gọi O là tâm ngoại tiếp tam giác ABC,ta có OM=$\frac{1}{2}AH \Rightarrow \frac{{AH}^{2}}{4}={OM}^{2}={R}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}\Rightarrow -\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{{AH}^{2}}{4}-{R}^{2} $(BC=a,OA=OB=OC=R).Theo công thức trung tuyến ta có ${HM}^{2}=\frac{2({HB}^{2}+{HC}^{2})-{a}^{2}}{4}=\frac{{HB}^{2}+{HC}^{2}}{2}+\frac{{AH} ^{2}}{4}-{R}^{2}={{A}_{1}M}^{2} $.Theo ĐL Py-ta-go ta có:${O{A}_{1}}^{2}={OM}^{2}+{{A}_{1}M}^{2}=\frac{{AH}^ {2}}{4}+\frac{{HB}^{2}+{HC}^{2}}{2}+\frac{{AH}^{2} }{4}-{R}^{2}=\sum \frac{{AH}^{2}}{2}-{R}^{2} $.Tương tự ta được ${O{A}_{2}}^{2},{O{B}_{1}}^{2},{O{B}_{2}}^{2},{O{C} _{1}}^{2},{O{C}_{2}}^{2} $ cũng bằng biểu thức trên.Từ đó ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nó đã dc thảo luận ở đây.
[Only registered and activated users can see links. ]
Về cách của em thì cũng là một hướng tốt và có thể mở rộng cả với hai điểm đẳng giác Tuy nhiên nó cũng khá quen thuộc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]