Chứng minh đồ thị của f là tập đóng

materazzi · 26-03-2009, 01:21 PM

Cho $\ f $ là một ánh xạ liên tục từ không gian metric $\ X $ vào không gian metric Y . Gọi $\ A=\{ (x;f(x)) \in X* Y / x \in X \} $ là đồ thị của $\ f $ . Chứng minh rằng đồ thị của $ \ f $ là tập đóng trong $\ X*Y $

99 · 26-03-2009, 08:34 PM

anh 2M nhầm định lý roài. Tập đóng mà bạn materazzi nói ở trên là đóng đối với không gian metric. Tích của hai không gian metric cũng là không gian metric.

99 · 27-03-2009, 12:30 PM

Anh quên không gian metric rồi

Ví dụ có thể đọc ở wiki : [Only registered and activated users can see links. ]

Chứng minh thì chỉ cần dựa trên định nghĩa tập mở tập đóng, điểm giới hạn theo nghĩa của không gian metric, chưa cần dùng để khái niệm tổng quát hơn ở không gian topo.

Gọi (x,y) là một điểm giới hạn của đồ thị của f. Khi đó tồn tại dãy $(x_n,f(x_n)) \to (x,y) $ . Khi đó $x_n\to x $ , $f(x_n)\to y $. Do f liên tục nên $f(x) = \lim_{n\to\infty}f(x_n) $. Vì vậy $f(x) = y $ hay $(x,y) $ thuộc đồ thị của f.

n.t.tuan · 27-03-2009, 03:37 PM

Bài này hôm qua bác 2M đã hỏi khi mình về nhà bác ấy. Mình lại tưởng nhầm là mệnh đề ngược của mệnh đề trên. Thế là bảo: Ờ, anh phải cho Banach và tuyến tính vào. Bác 2M tin.

26-03-2009, 01:21 PM	#1
materazzi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 40 Thanks: 26 Thanked 7 Times in 7 Posts	Chứng minh đồ thị của f là tập đóng Cho $\ f $ là một ánh xạ liên tục từ không gian metric $\ X $ vào không gian metric Y . Gọi $\ A=\{ (x;f(x)) \in X* Y / x \in X \} $ là đồ thị của $\ f $ . Chứng minh rằng đồ thị của $ \ f $ là tập đóng trong $\ X*Y $

27-03-2009, 03:37 PM	#4
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Bài này hôm qua bác 2M đã hỏi khi mình về nhà bác ấy. Mình lại tưởng nhầm là mệnh đề ngược của mệnh đề trên. Thế là bảo: Ờ, anh phải cho Banach và tuyến tính vào. Bác 2M tin. __________________ T.

26-03-2009, 08:34 PM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	anh 2M nhầm định lý roài. Tập đóng mà bạn materazzi nói ở trên là đóng đối với không gian metric. Tích của hai không gian metric cũng là không gian metric.

27-03-2009, 12:30 PM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Anh quên không gian metric rồi Ví dụ có thể đọc ở wiki : [Only registered and activated users can see links. ] Chứng minh thì chỉ cần dựa trên định nghĩa tập mở tập đóng, điểm giới hạn theo nghĩa của không gian metric, chưa cần dùng để khái niệm tổng quát hơn ở không gian topo. Gọi (x,y) là một điểm giới hạn của đồ thị của f. Khi đó tồn tại dãy $(x_n,f(x_n)) \to (x,y) $ . Khi đó $x_n\to x $ , $f(x_n)\to y $. Do f liên tục nên $f(x) = \lim_{n\to\infty}f(x_n) $. Vì vậy $f(x) = y $ hay $(x,y) $ thuộc đồ thị của f.