Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2013, 11:12 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
[VMO 2013] Bài 5 - Phương trình hàm


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 12-01-2013 lúc 11:46 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
hongduc_cqt (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), manhnguyen94 (12-01-2013), Trànvănđức (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:20 AM   #2
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!

thay đổi nội dung bởi: High high, 12-01-2013 lúc 11:32 AM
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to High high For This Useful Post:
bb.boy_lion (12-01-2013), hongduc_cqt (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), Mr_Pi (12-01-2013), n.v.thanh (12-01-2013), nliem1995 (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:35 AM   #3
Hmh1996
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Bài gởi: 15
Thanks: 28
Thanked 3 Times in 2 Posts
Mình nek, mà mình quên chứng minh duy nhất rồi
Hình như ko có cái ở dưới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hmh1996 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:40 AM   #4
Conanvn
+Thành Viên+
 
Conanvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG
Bài gởi: 188
Thanks: 190
Thanked 80 Times in 55 Posts
Câu này chỉ ra $f(x)=2013x$ thôi mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyến tàu đã dừng lại.
Conanvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:44 AM   #5
Hmh1996
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Bài gởi: 15
Thanks: 28
Thanked 3 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
$f(x)=2013\sqrt{x}, \forall x >0$ thay vào vẫn thỏa?
thay vào bên mũ 2 bên mũ 3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hmh1996 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:56 AM   #6
ntuan5
+Thành Viên+
 
ntuan5's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 155
Thanks: 130
Thanked 38 Times in 24 Posts
$y=0$ nó ra cái $xf(f^2(x)=f^3(x)$ cơ mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ntuan5 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:58 AM   #7
1243_cbn
+Thành Viên+
 
1243_cbn's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: No where
Bài gởi: 11
Thanks: 8
Thanked 3 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
???
$f^2(x)=2013^2x$
$f(f^2(x))=f(2013^2x)=2013^3\sqrt{x}$

$VT=(x-y).2013^3(\sqrt{x}-\sqrt{y})$
$VP=2013(\sqrt{x}-\sqrt{y}).2013^2(x-y)$
Bạn thay sai rồi kìa. $f(f^2(x))=2013^2.\sqrt{x}$ thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mai tôi chết ai là người xây mộ

Ai là người lặng lẽ tiễn đưa tôi
1243_cbn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:01 PM   #8
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 1243_cbn View Post
Bạn thay sai rồi kìa. $f(f^2(x))=2013^2.\sqrt{x}$ thôi.
ừm vậy là sai rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:05 PM   #9
Hmh1996
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Bài gởi: 15
Thanks: 28
Thanked 3 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
???
$f^2(x)=2013^2x$
$f(f^2(x))=f(2013^2x)=2013^3\sqrt{x}$

$VT=(x-y).2013^3(\sqrt{x}-\sqrt{y})$
$VP=2013(\sqrt{x}-\sqrt{y}).2013(x-y)$
z mới đúng đó anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hmh1996 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:22 PM   #10
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trông thì có vẻ là 2 nhưng nếu làm kĩ chút xíu thì chỉ có 1 thôi... Đó là $f(x)=2013x. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:48 PM   #11
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Dù gì cũng đã rồi, nói chung là đến đoạn
$$[f(x)-2013x][f^2(x)-2013^2x]=0, \forall x \not= 0$$
Ai xử lý chặt chẽ đoạn sau hộ mình.
Năm nay có mem nào "thử lại thấy thỏa mãn không ta"
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 01:03 PM   #12
bb.boy_lion
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 89
Thanked 5 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
Dù gì cũng đã rồi, nói chung là đến đoạn
$$[f(x)-2013x][f^2(x)-2013^2x]=0, \forall x \not= 0$$
Ai xử lý chặt chẽ đoạn sau hộ mình.
Năm nay có mem nào "thử lại thấy thỏa mãn không ta"
giả sử tồn tại $x_0 >0$ và $x_0 \neq 1$
rồi thay $x=x_0, y=-1$ là được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bb.boy_lion is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 01:15 PM   #13
manhnguyen94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: 11 Toán CQB
Bài gởi: 98
Thanks: 83
Thanked 69 Times in 38 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
Dù gì cũng đã rồi, nói chung là đến đoạn
$$[f(x)-2013x][f^2(x)-2013^2x]=0, \forall x \not= 0$$
Ai xử lý chặt chẽ đoạn sau hộ mình.
Năm nay có mem nào "thử lại thấy thỏa mãn không ta"
Nháp đến đoạn này mình chọn x>0 để thấy rằng còn 1 hàm , lâu rồi không làm không biết có được không.

Nhớ là phải xét tiếp trường hợp f(x) vừa =2013x vừa bằng tiếp cái kia
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Yêu rồi
manhnguyen94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 01:33 PM   #14
Toan95cqb
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 59
Thanks: 17
Thanked 19 Times in 13 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
Dù gì cũng đã rồi, nói chung là đến đoạn
$$[f(x)-2013x][f^2(x)-2013^2x]=0, \forall x \not= 0$$
Ai xử lý chặt chẽ đoạn sau hộ mình.
Năm nay có mem nào "thử lại thấy thỏa mãn không ta"
Với trường hợp 2:
$f^2(x)=2013^2x $
$f^2(-x)=-2013^2x $
nên $f^2(x)+f^2(-x)=0 => f^2(x)=f^2(-x)=0 $
Vô lí với điều kiện $f(1)=2013 $
Mình làm chỗ này như vậy đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Toan95cqb is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 01:50 PM   #15
nguoi_vn1
+Thành Viên+
 
nguoi_vn1's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 127
Thanks: 87
Thanked 35 Times in 22 Posts
Đây là cách làm của mình, không biết đúng hay sai nữa
Thay $y=0$ được $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x) \forall x\epsilon \mathbb{R}$
$VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-y.f(f^{2}(x))-xf(f^{2}(y))$
$VP=f^{3}(x)+f^{3}(y)-f(y)f^{2}(x)-f(x)f^{2}(y)$
$\Rightarrow y.f(f^{2}(x))+xf(f^{2}(y))=f(y)f^{2}(x)+f(x)f^{2}( y)$(1)
Từ $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x)$ suy ra $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} \forall x\neq 0$, thay lại vào (1) ta được:
$\frac{y}{x}.f^{3}(x)+\frac{x}{y}.f^{3}(y)=f(y)f^{ 2}(x)+f(x)f^{2}(y) \forall x,y \neq0$
$\Leftrightarrow f^{2}(x).[\frac{y}{x}.f(x)-f(y)]+f^{2}(y).[\frac{x}{y}.f(y)-f(x)]=0$
$\Leftrightarrow [y.f(x)-xf(y)].[\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}]=0 \forall x,y \neq0$
*Xét trường hợp $y.f(x)-xf(y)=0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}=a=const \forall x,y \neq0$
suy ra $f(x)=ax$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ $ \Rightarrow f(x)=2013x \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa mãn
*Xét trường hợp $\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}=0$ $\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{x}=\frac{f^{2}(y)}{y}=b \forall x,y \neq0$, suy ra $f^{2}(x)=bx$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ hoặc $a=-2013$
suy ra $f(x)=2013\sqrt{x}$ hoặc $f(x)=-2013\sqrt{x}\forall x>0$, thử lại thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)=2013x$ $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ là nghiệm hàm duy nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai
VMO 2014- Đợi mình nhé

thay đổi nội dung bởi: nguoi_vn1, 12-01-2013 lúc 04:01 PM
nguoi_vn1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to nguoi_vn1 For This Useful Post:
luugiangnam (12-01-2013), minhtuyb (12-01-2013), starfish74 (12-01-2013), Trànvănđức (12-01-2013), tsunajudaime (12-01-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:09 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 97.38 k/113.09 k (13.89%)]