|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
26-12-2010, 09:18 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts | The inequality A,b,c >0 và abc =1 CM $a) \frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}} +\frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+6c +1}} \geq 1 $ b) $ \sum \frac{x}{x^2+x+1} \leq \sum \frac{1}{x+2} $ $c) \sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3 $ |
26-12-2010, 09:41 PM | #2 | |
+Thành Viên+ | Trích:
thì đây là bài thi olp 30-4 năm 2009 đã đc rút gọn hơn !!! ... __________________ $Le~Thien~Cuong $ | |
The Following 2 Users Say Thank You to Unknowing For This Useful Post: | daylight (26-12-2010), wikipedia1995 (26-12-2010) |
27-12-2010, 05:28 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z} $ Bất đẳng thức dc viết lại: $\sqrt{\frac{2x}{x+y}}+\sqrt{\frac{2y}{y+z}}+\sqrt{ \frac{2z}{z+x}}\le3 $ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\left ( \sum \sqrt{\frac{2x}{x+y}} \right )^2\le2\sum x(y+z)\sum \frac{1}{(x+y)(y+z)}=\frac{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+ y)(y+z)(z+x)} $ Cần chứng minh: $8(xy+yz+zx)(x+y+z)\le9(x+y)(y+z)(z+x) $ $\Leftrightarrow x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2\ge0 $ Mà bất đẳng thức này đúng nên ta có đpcm. |
The Following 2 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post: | daylight (28-12-2010), wikipedia1995 (27-12-2010) |
27-12-2010, 06:09 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Tuy Hòa Bài gởi: 198 Thanks: 198 Thanked 129 Times in 72 Posts | Trích:
Ta có vế trái không nhỏ hơn 1 còn vế phải không lớn hơn 1. | |
27-12-2010, 11:07 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | |
28-12-2010, 07:47 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Trích:
1). Cho a,b,c>0,abc=1. Khi đó:$\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1 $ Chứng minh. Đặt $x=\frac{mn}{p^2};y=\frac{np}{p^2};z=\frac{mp}{n^2} $. Vế trái của 1) có dạng: $\sum \frac{p^4}{m^2n^2+2mnp^2+p^4}\geq \frac{(p^2+m^2+n^2)^2}{\sum p^4+\sum m^2n^2+2\sum mnp^2}\geq 1 $ (vì $\sum m^2n^2\ge \sum mnp^2} $ 2). Cho $u \gev >0 $. Khi đó $\frac{1-u}{u^2+u+1}\le \frac{1-v}{v^2+v+1} $ khi và chỉ khi $u+v+2\ge uv $ Dễ chứng minh 2). Trở lại bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử $x\gey\gez $. Khi đó $yz \le1 \Rightarrow yz<2\sqrt{yz}<y+z+2 $ và $(x-1)(z-1)\le0 \Rightarrow zx\le x+z-1<x+z+2 $. Xét 2 trường hợp: 1) $xy\le x+y+2 $. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương: $\sum \frac{1-x}{(x+2)(x^2+x+1)}\ge0 $ $(1) $ Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ cùng chiều: $\frac{1}{x+2} $ và $\frac{1-x}{x^2+x+1} $: $VT(1) \ge \frac{1}{3}\sum \frac{1}{x+2}\sum \frac{1-x}{x^2+x+1} $ Áp dụng bổ đề 1) cho 2 bộ số $\frac{1}{x} $ và $x $: $\sum \frac{x^2+2}{x^2+x+1}\geq 3 $ $\Leftrightarrow \sum \frac{1-x}{x^2+x+1}\geq 0 $ Vậy BDT dc CM trong trường hợp này. 2) $xy>x+y+2 $ $\Rightarrow xy>2\sqrt{xy}+2 \Rightarrow xy>4+2\sqrt{3} \Rightarrow z<\frac{2-\sqrt{3}}{2}=z_0 $. Xét hàm: $f(t)=\frac{1-t}{(t+2)(t^2+t+1)} $ Lập bảng biến thiên suy ra: $f $ nghịch biến với $t<1 $ Do đó: $f(z)>f(z_0) $ Mặt khác: $\frac{1-t}{(t+2)(t^2+t+1)}>-\frac{1}{20} $ $\Leftrightarrow t^3+3t^2+22-17t>0 $ $\Leftrightarrow (t-2)^2(t+4)+3(t-1)^2+t+3>0 $ (đúng với t>0) Vậy $f(x)+f(y)+f(z)>-\frac{1}{10}+f(z_0)>0 $ (máy tính) Bất đẳng thức dc chứng minh hoàn toàn. thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 28-12-2010 lúc 09:20 PM | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|