Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2017

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 24-03-2017, 11:43 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Việt Nam TST 2017 - Đề thi và lời giải

Ngày mai, 25/3/2017, kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 2017 sẽ chính thức diễn ra tại trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội.

Kỳ thi lần này có 49 thí sinh tham gia đến từ nhiều đơn vị. Nếu không có gì thay đổi, VN TST năm nay sẽ vẫn diễn ra trong 2 ngày: mỗi ngày thi trong 4 tiếng rưỡi với 3 bài toán thuộc các phân môn: Đại số, Hình học, Số học và Tổ hợp.


Dưới đây là danh sách các bạn tham gia chọn đội tuyển:


Chúc tất cả các bạn thí sinh có một kỳ thi thành công, thể hiện hết khả năng của mình.

P/s: Các bạn có đề thi sớm xin cập nhật vào topic này. Xin cám ơn rất nhiều.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg khai mac.jpg (52.0 KB, 294 lần tải)
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-03-2017, 02:27 PM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
ĐỀ VIỆT NAM TST 2017

Bài 1. Cho $44$ cái lỗ phân biệt trên một cái rãnh là đường thẳng và $2017$ con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên từ một cái lỗ và bò đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi $T$ là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống các cái lỗ. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và $|T| \le 45.$ Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến nào đó không gặp nhau.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $x_n = C_{2n}^n$.
a) Chứng minh rằng nếu $\dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k$ với $k$ là số nguyên dương nào đó thì $x_n$ là bội của $2017$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $h > 1$ để tồn tại các số nguyên dương $N,T$ sao cho với mọi $n>N$ thì $x_n$ là dãy số tuần hoàn theo modulo $h$ với chu kỳ $T$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ và $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$
lần lượt tại $D, E, F.$ Gọi $I_b, I_c$ lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác $ABC.$ Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm $I_bE, I_cF.$ Giả sử $(PAC)$ cắt $AB$ tại $R$ và $(QAB)$ cắt $AC$ tại $S.$
a) Chứng minh rằng $PR, QS, AI$ đồng quy.
b) DE, DF lần lượt cắt $I_bI_c$ tại $K, J.$ $EJ$ cắt $FK$ tại $M$ và $PE, QF$ cắt $(PAC),(QAB)$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh rằng $BY, CX, AM$ đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB > BC$ và $M$ là trung điểm $AC.$ Đường tròn đường kính $BM$ cắt $(O)$ tại $R.$ Giả sử $RM$ cắt $(O)$ tại $Q,$ cắt $BC$ tại $P.$ Đường tròn đường kính $BP$ cắt $AB, BO$ lần lượt tại $K, S.$
a) Chứng minh rằng $SR$ đi qua trung điểm $KP.$
b) Gọi $N$ là trung điểm $BC.$ Trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AN, BM cắt SR tại $E.$ Chứng minh rằng $ME$ đi qua một điểm cố định.

Bài 5. Cho $2017$ số thực dương $a_1,a_1,...,a_{2017}.$ Với mỗi $n>2017,$ ta đặt
\[a_n=\max \{a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}|i_1+i_2+i_3=n, $1 \le i_1 \le i_2 \le i_3 \le n-1 \}. \]

Chứng minh rằng tồn tại $m$ nguyên dương không vượt quá $2017$ và $N >4m$ sao cho $a_na_{n-4m}=a_{n-2m}^2$ với mọi $n>N$.

Bài 6. Với mỗi số nguyên dương $n$, xét $a_1,a_2, \ldots, a_{2n}$ là hoán vị của $2n$ số nguyên dương đầu tiên. Một hoán vị như thế được gọi là đẹp nếu với mọi $1 \le i < j \le 2n$ thì $a_i+a_{n+i}=2n+1$ và $a_i-a_{i+1}$ không đồng dư với $a_j-a_{j+1}$ theo modulo $2n+1$. Quy ước $a_{2n+1}=a_1$.

a) Với $n=6$, hãy chỉ ra một hoán vị đẹp.
b) Chứng minh rằng với mỗi $n$ nguyên dương thì luôn tồn tại một hoán vị đẹp.

(Theo bạn Nguyễn Doãn Hoàng Lâm, chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-03-2017, 09:22 PM   #3
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $x_n = C_{2n}^n$.
a) Chứng minh rằng nếu $\dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k$ với $k$ là số nguyên dương nào đó thì $x_n$ là bội của $2017$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $h > 1$ để tồn tại các số nguyên dương $N,T$ sao cho với mọi $n>N$ thì $x_n$ là dãy số tuần hoàn theo modulo $h$ với chu kỳ $T$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : png BÀI 2a TST 2017.PNG (25.2 KB, 92 lần tải)
DaiToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post:
Mr Stoke (26-03-2017), ngocson_dhsp (27-03-2017)
Old 26-03-2017, 11:37 PM   #4
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Bài này cho câu a gợi ý hơi thừa, theo MS học sinh hoàn toàn có thể dễ dàng giải được câu b, không cần câu a.

Ý a thầy Đại làm rồi, sau đây là ý b: Giả sử $h>1$ là số thoả mãn yêu cầu bài toán. Với mỗi $p$ nguyên tố lẻ mà $p\mid h$, ta có dãy số dư $x_n$ theo modulo $p$ cũng tuần hoàn. Sử dụng kết quả câu a) [đúng với mọi số nguyên tố lẻ] thì với $p^k/2<n<p^k$ thì $x_n\equiv 0\pmod p$. Chọn $k$ đủ lớn để $p^k/2>T+1$, ta suy ra tất cả các số dư của $x_n$ cho $p$ đều bằng $0$ với mọi $n\ge n_0$, trong đó $n_0\in\mathbb Z^+$ đủ lớn. Tuy nhiên chọn $t\in\mathbb Z^+$ đủ lớn để $p^t-1>2n_0$ và đặt $n=\frac{p^t-1}2$ ta có ngay $v_p(x_n)=0$, do đó $p\nmid x_n$, vô lý.

Vậy $h$ chỉ có ước nguyên tố là $2$ hay $h=2^k$ với $k$ nguyên dương. Nếu $k>1$ ta chọn $r=k-1$ và xét số $n$ có dạng $n=2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}$ trong đó $a_1>\max\{T,N\}$ trong đó $T,N$ là các hằng số trong giả thiết của $h$. Khi đó $v_2(x_n)=2S_2(n)-S_2(2n)=r$, trong đó $S_2(x)$ là tổng các chữ số trong biểu diễn nhị phân. Thành thử $x_n\equiv 2^{k-1}\pmod h$. Tuy nhiên với mọi $i\in\mathbb Z^+$ mà $i<2^{a_1}$ thì số chữ số $1$ trong biểu diễn nhị phân của $n+i$ tăng thêm ít nhất $1$ đơn vị, do đó mà $x_{n+i}\equiv 0\pmod{h}$. Do $a_1>\max\{T,N\}$ nên $x_n\equiv x_{n+T}\equiv 0\pmod h$, mâu thuẫn.

Vậy $k=1$ do đó $h=2$. Đây là đáp số bài toán, vì dễ thấy rằng $x_n$ là số chẵn với mọi số nguyên dương $n$ như sau: nếu $n=2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}$ với $0\leq a_1<\cdots<a_r$ thì $2n=2^{a_1+1}+\cdots+2^{a_r+1}$ nên $v_2(x_n)=2S_n(n)-S_2(2n)=r\ge1$. Do đó $x_n$ chẵn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Mr Stoke, 26-03-2017 lúc 11:53 PM
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Mr Stoke For This Useful Post:
DaiToan (27-03-2017), ngocson_dhsp (27-03-2017), sophia2009 (30-03-2017)
Old 26-03-2017, 11:39 PM   #5
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Bài 5 là biến thể của bài 6 IMO 2010. Lời giải tương tự.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
Mr Stoke (26-03-2017), sophia2009 (30-03-2017)
Old 26-03-2017, 11:42 PM   #6
Mr Stoke
+Thành Viên Danh Dự+
 
Mr Stoke's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Bài gởi: 252
Thanks: 40
Thanked 455 Times in 95 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Traum View Post
Bài 5 là biến thể của bài 6 IMO 2010. Lời giải tương tự.
Ồ bạn tinh thật, thảo nào mới đọc đề cảm giác quen quen như đã từng làm rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mr Stoke is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-03-2017, 04:55 PM   #7
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
ĐỀ VIỆT NAM TST 2017



Bài 5. Cho $2017$ số thực dương $a_1,a_1,...,a_{2017}.$ Với mỗi $n>2017,$ ta đặt
\[a_n=\max \{a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}|i_1+i_2+i_3=n, $1 \le i_1 \le i_2 \le i_3 \le n-1 \}. \]

Chứng minh rằng tồn tại $m$ nguyên dương không vượt quá $2017$ và $N >4m$ sao cho $a_na_{n-4m}=a_{n-2m}^2$ với mọi $n>N$.


(Theo bạn Nguyễn Doãn Hoàng Lâm, chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM)
Có thể tham khảo chuyên đề duyên hải năm 2010 tại Hà Nam liên quan đến bài toán trên. Trang 122
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf www.MATHVN.com-KyyeumonToan2010.pdf (2.45 MB, 636 lần tải)
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post:
sophia2009 (30-03-2017)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:52 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 72.28 k/81.52 k (11.33%)]