Số học

rewrite · 14-11-2010, 07:48 AM

Tìm tất cả số nguyên $n >1 $ thỏa mãn mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ đều là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $

sonltv_94 · 14-11-2010, 11:12 AM

$n^6-1=(n^3-1)(n+1)(n^2-n+1) $ Vậy để mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ cũng là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $ thì mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1 $ cũng là ước nguyên tố của $n-1 $ hay nói cách khác $n=2 $

**namdung** · 14-11-2010, 04:33 PM

Lý luận của Sơn chông chênh quá. Ngay cả với n = 2 thì em thấy là n^2 - n + 1 = 3, còn n-1 = 1 đâu có giống điều em khẳng định?

sonltv_94 · 14-11-2010, 06:00 PM

Thành thật xin lỗi thành viên của diễn đàn và thầy Dũng cho sự bất cẩn của em.
Ta có: $n^6-1=(n^3-1)(n^3+1) $ vậy để thỏa điều kiện đề bài thì mọi ước nguyên tố lẻ của $n^3+1 $ cũng là ước nguyên tố lẻ của $n^2-1 $.Mặt khác ta lại có $gcd (n-1;n^2-n+1) = 1 $ nên tập các ước nguyên tố lẻ của $n^2-n+1 $ trùng với tập các ước nguyên tố lẻ của $n+1 $.Gọi $d =gcd (n+1;n^2-n+1) \Rightarrow d \ 3 $.Tới đây ta có thể suy ra $n=1;2 $

**huynhcongbang** · 16-11-2010, 04:02 AM

Trích:

Nguyên văn bởi rewrite

Tìm tất cả số nguyên $n >1 $ thỏa mãn mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ đều là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $

Bài này là câu 18 đề thi Baltic way 2002, hình như bên artofproblemsolving.com cũng chưa có lời giải đúng!

http://www.artofproblemsolving.com/F...791ee#p1817829

14-11-2010, 07:48 AM	#1
rewrite +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 85 Thanks: 46 Thanked 27 Times in 23 Posts	Số học Tìm tất cả số nguyên $n >1 $ thỏa mãn mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ đều là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $ thay đổi nội dung bởi: novae, 14-11-2010 lúc 07:51 AM

14-11-2010, 11:12 AM	#2
sonltv_94 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai Bài gởi: 149 Thanks: 29 Thanked 139 Times in 85 Posts	$n^6-1=(n^3-1)(n+1)(n^2-n+1) $ Vậy để mọi ước nguyên tố của $n^6-1 $ cũng là ước nguyên tố của $(n^3-1)(n^2-1) $ thì mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1 $ cũng là ước nguyên tố của $n-1 $ hay nói cách khác $n=2 $ __________________ Vĩnh biệt Toán,vĩnh biệt Mathscope....

14-11-2010, 06:00 PM	#4
sonltv_94 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai Bài gởi: 149 Thanks: 29 Thanked 139 Times in 85 Posts	Thành thật xin lỗi thành viên của diễn đàn và thầy Dũng cho sự bất cẩn của em. Ta có: $n^6-1=(n^3-1)(n^3+1) $ vậy để thỏa điều kiện đề bài thì mọi ước nguyên tố lẻ của $n^3+1 $ cũng là ước nguyên tố lẻ của $n^2-1 $.Mặt khác ta lại có $gcd (n-1;n^2-n+1) = 1 $ nên tập các ước nguyên tố lẻ của $n^2-n+1 $ trùng với tập các ước nguyên tố lẻ của $n+1 $.Gọi $d =gcd (n+1;n^2-n+1) \Rightarrow d \ 3 $.Tới đây ta có thể suy ra $n=1;2 $ __________________ Vĩnh biệt Toán,vĩnh biệt Mathscope....

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

14-11-2010, 04:33 PM	#3
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Lý luận của Sơn chông chênh quá. Ngay cả với n = 2 thì em thấy là n^2 - n + 1 = 3, còn n-1 = 1 đâu có giống điều em khẳng định?