Đồng Quy

[abacadaeafag]

Cho tam giác ABC có trực tâm H, đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho :
$DO+DH=EO+EH=FO+FH $
và các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Tia AH cắt (ABC) và BC tại L và K,
OL cắt BC tại D, ta có KH=KL, suy ra DH=DL, do đó $OD+DH=OD+DL=OL=R $
các điểm E, F được xác định tương tự, ta cm AD, BE, CF đồng quy
ta có $\widehat{OBC}=90^o-\hat{A},\widehat{CBL}=\widehat{CAL}=90^o-\hat{C} \Rightarrow\widehat{OBL}=\hat{B} $
$OB=OL\Rightarrow\widehat{OLB}=\hat{B}\Rightarrow \widehat{BOD} =\widehat{BOL}=180^o-2\hat{B} $
tương tự, ta có $\widehat{COD}=180^o-2\hat{C} $
áp dụng định lý sin:
$\frac{BD}{\sin \widehat{BOD}}=\frac{OD}{\sin \widehat{OBD}}; \frac{CD}{\sin \widehat{COD}}=\frac{OD}{\sin \widehat{OCD}} \\ \Rightarrow \frac{BD}{\sin \widehat{BOD}}=\frac{CD}{\sin \widehat{COD}}\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{\sin(180^o-2B)}{\sin(180^o-2C)}=\frac{\sin2B}{\sin2C} $
tương tự cho 2 điểm E, F và áp dụng định lý Céva, ta có đpcm

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]