Bài tập độ đo

T.Courtin · 07-01-2008, 12:57 AM

1. Nếu $A\subset [0,2\pi] $ và $A $ là Lebesgue đo được . Chứng minh rằng

$\lim_{n\to\infty}\int_{A}\cos nx dx= \lim_{n\to\infty}\int_{A}\sin nx dx= 0 $

2.Giả sử $f $ là hàm liên tục trên $R $ , tuần hoàn chu kỳ 1 và $\alpha $ là số vô tỉ. Chứng minh rằng:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k \alpha)=\int_0^1f(t)dt $

3. $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ là hàm cộng tính, tức là $f(x+y)=f(x)+f(y) $ . Tìm hàm $f $ như vậy, nếu $f $ Lebesgue đo được

**Mr Stoke** · 07-01-2008, 07:01 PM

Bài 1 là hệ quả của bổ đề Riemann-Lebesgue, bài 3 T.Courtin xem lại xem hàm f là đo được Lebesgue hay khả tích lebesgue nhé. Bài 2 chưa làm nhưng đoán là dùng bổ đề Kronecker về tính trù mật của $\{n\alpha\} $ với $\alpha $ vô tỷ.

T.Courtin · 07-01-2008, 07:13 PM

@Mr Stoke:
Anh có thể nói rõ hơn về bài 1 không? Bổ đề Riemann Lebesgue là gì vậy ?

Bài 3 đề chuẩn rồi : f là Lebesgue-đo được
PS : mấy bài này em post cho vui thôi

, kiếm 25 post

**Mr Stoke** · 07-01-2008, 07:31 PM

Em google cái là ra mà, bổ đề ay mạnh hơn bài toan1hay nhiều. Có 1 cách khác (trong sách thầy Tụy) dùng khai triển Fourier cho hàm đặc trưng trong $L^2[0;2\pi] $. Ở bài 3 thì ms chỉ biết nếu f là khả tích (L) địa phương thì nghiệm là hàm tuyến tính.

T.Courtin · 07-01-2008, 08:11 PM

Bài 3 đề chuẩn rồi anh ạ.Anh biết định lý Steinhaus chứ

, áp dụng là ra thôi

**Mr Stoke** · 07-01-2008, 08:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi T.Courtin

Bài 3 đề chuẩn rồi anh ạ.Anh biết định lý Steinhaus chứ

, áp dụng là ra thôi

Định lý Steinhaus nào?:evil:

T.Courtin · 07-01-2008, 11:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Em google cái là ra mà, bổ đề ay mạnh hơn bài toan1hay nhiều. Có 1 cách khác (trong sách thầy Tụy) dùng khai triển Fourier cho hàm đặc trưng trong $L^2[0;2\pi] $. Ở bài 3 thì ms chỉ biết nếu f là khả tích (L) địa phương thì nghiệm là hàm tuyến tính.

Em tìm thấy rồi, mạnh thật :facebowling:
[Only registered and activated users can see links. ]

Định lý Steinhaus này anh có thể tìm thấy trong Hewitt : Real and Abstract Analysis

99 · 10-01-2008, 07:50 PM

Bài 3 cũ rồi, có trong cuốn Bài tập tô pô độ đo, tích phân của thầy Thái

Định lý Steinhaus : $E\subset\mathbb{R} $ là tập có độ đo Lebesgue lớn hơn 0 . Khi đó tập $\{x-y: x,y\in E\} $ chứa một đoạn $[-a,a] $ với $a>0 $

**Mr Stoke** · 10-01-2008, 08:24 PM

Cái Steinhaus thì rõ ràng rồi, vấn đề là dùng nó vào như thế nào. Anh có đọc 1 lời giải nhưng cái đó mà vứt giả thiết khả tích địa phương đi là hỏng luôn :secretsmile:

T.Courtin · 13-01-2008, 06:06 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 99

Bài 3 cũ rồi, có trong cuốn Bài tập tô pô độ đo, tích phân của thầy Thái

Định lý Steinhaus : $E\subset\mathbb{R} $ là tập có độ đo Lebesgue lớn hơn 0 . Chứng minh tập $\{x-y: x,y\in E\} $ chứa một đoạn $[-a,a] $ với $a>0 $

Đúng rồi đấy :secretsmile:

@Mr Stokes : lời giải của bài đó thế này

.
$A_n = f^{-1} ((-n,n)) $
Do $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n =\mathbb{R} $ nên tồn tại n để $A_n $ có độ đo lớn hơn không.
Từ đó suy ra hàm f bị chặn trên một khoảng. Từ đây thì chắc ai hay làm bài thi học sinh giỏi phải biết giải rồi nhỉ

07-01-2008, 12:57 AM	#1
T.Courtin Guest Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 49 Thanks: 1 Thanked 6 Times in 4 Posts	Bài tập độ đo 1. Nếu $A\subset [0,2\pi] $ và $A $ là Lebesgue đo được . Chứng minh rằng $\lim_{n\to\infty}\int_{A}\cos nx dx= \lim_{n\to\infty}\int_{A}\sin nx dx= 0 $ 2.Giả sử $f $ là hàm liên tục trên $R $ , tuần hoàn chu kỳ 1 và $\alpha $ là số vô tỉ. Chứng minh rằng: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k \alpha)=\int_0^1f(t)dt $ 3. $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ là hàm cộng tính, tức là $f(x+y)=f(x)+f(y) $ . Tìm hàm $f $ như vậy, nếu $f $ Lebesgue đo được

07-01-2008, 07:31 PM	#4
Mr Stoke +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts	Em google cái là ra mà, bổ đề ay mạnh hơn bài toan1hay nhiều. Có 1 cách khác (trong sách thầy Tụy) dùng khai triển Fourier cho hàm đặc trưng trong $L^2[0;2\pi] $. Ở bài 3 thì ms chỉ biết nếu f là khả tích (L) địa phương thì nghiệm là hàm tuyến tính. thay đổi nội dung bởi: Mr Stoke, 07-01-2008 lúc 07:46 PM

07-01-2008, 07:01 PM	#2
Mr Stoke +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts	Bài 1 là hệ quả của bổ đề Riemann-Lebesgue, bài 3 T.Courtin xem lại xem hàm f là đo được Lebesgue hay khả tích lebesgue nhé. Bài 2 chưa làm nhưng đoán là dùng bổ đề Kronecker về tính trù mật của $\{n\alpha\} $ với $\alpha $ vô tỷ.

07-01-2008, 07:13 PM	#3
T.Courtin Guest Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 49 Thanks: 1 Thanked 6 Times in 4 Posts	@Mr Stoke: Anh có thể nói rõ hơn về bài 1 không? Bổ đề Riemann Lebesgue là gì vậy ? Bài 3 đề chuẩn rồi : f là Lebesgue-đo được PS : mấy bài này em post cho vui thôi , kiếm 25 post

07-01-2008, 08:11 PM	#5
T.Courtin Guest Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 49 Thanks: 1 Thanked 6 Times in 4 Posts	Bài 3 đề chuẩn rồi anh ạ.Anh biết định lý Steinhaus chứ , áp dụng là ra thôi

10-01-2008, 07:50 PM	#8
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Bài 3 cũ rồi, có trong cuốn Bài tập tô pô độ đo, tích phân của thầy Thái Định lý Steinhaus : $E\subset\mathbb{R} $ là tập có độ đo Lebesgue lớn hơn 0 . Khi đó tập $\{x-y: x,y\in E\} $ chứa một đoạn $[-a,a] $ với $a>0 $

10-01-2008, 08:24 PM	#9
Mr Stoke +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts	Cái Steinhaus thì rõ ràng rồi, vấn đề là dùng nó vào như thế nào. Anh có đọc 1 lời giải nhưng cái đó mà vứt giả thiết khả tích địa phương đi là hỏng luôn :secretsmile: