Tặng chú Tchoupi

[Mr Stoke]

Đáp ứng yêu cầu của chú, anh mời chú xơi bài này nhưng nói trước bài này không dễ (mặc dù nó đã lâu đời) không chú bảo anh chơi khó chú, he he

Bài toán. Cho $\mu_1,\mu_2 $ là hai độ đo dương, kép trên $\mathbb R^n $. Hai độ đo $\mu_1,\mu_2 $ gọi là "anh em một nhà" nếu như tồn tại hằng số $c>0 $ thỏa mãn với mọi hình cầu $B $ trong $\mathbb R^n $, và với mọi tập con đo được $E $ của $B $ ta có $\frac{\mu_2(E)}{\mu_2(B)}\leq C\Big(\frac{\mu_1(E)}{\mu_1(B)}\Big)^{2} $.

Chứng minh rằng hai độ đo $\mu_1,\mu_2 $ là "anh em một nhà" nếu và chỉ nếu $d\mu_2(x)=\omega(x)d\mu_1(x) $ ở đó $\omega $ thỏa mãn
$\int_B\big(\omega(x)\big)^3d\mu_1(x)\leq \frac{c^3}{\mu_1(B)^2}\Big(\int_B\omega(x)d\mu_1(x )\Big)^3 $ với mọi cầu $B $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tchoupi]

đề của anh chuẩn chưa ạ ? bất đẳng thức cuối cùng em thấy lệch bậc ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

đánh nhầm đề, đã sửa lại rồi đấy!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tchoupi]

Chiều thuận thì em làm được rồi nhưng chiều đảo thì chịu.

Chiều thuận dùng định lý Radon-Nikodym để chứng minh tồn tại hàm $\omega $như trên, còn bất đẳng thức thì dùng định nghĩa tích phân Lebesgue thôi, xấp xỉ $\omega $ thành hàm đơn giản.

Nếu có thể thì anh gợi ý hướng giải, hoặc tốt hơn thì là sách giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Nguyên văn bởi Tchoupi

....Chiều thuận dùng định lý Radon-Nikodym để chứng minh tồn tại hàm $\omega $như trên, còn bất đẳng thức thì dùng định nghĩa tích phân Lebesgue thôi, xấp xỉ $\omega $ thành hàm đơn giản.
....

Anh cá nếu chiều thuận chỉ có thế này thì chú chưa làm ra được, thử viết kĩ ra xem nào :secretsmile:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tchoupi]

Thế anh kiểm tra thử nhé

($\Rightarrow $)
Theo đ/l Radon-Nikodym thì tồn hàm $\omega $ thỏa mãn $d\mu_2(x)=\omega(x)d\mu_1 $ (theo bất đẳng thức ở đề bài thì $\mu_2 $ liên tục tuyệt đối với $\mu_1 $)

$0\leq s\leq \omega $ trên $B $ là hàm đơn giản .

$s=\sum c_n \chi_{A_n} $

$\{A_n\} $ là một phân hoạch hữu hạn của $B $

$\int_B s^2d\mu_2 \to \int_B w^3d\mu_1 $

$\int_B s^2d\mu_2 = \sum c_n^2\frac{\mu_2(A_n)}{\mu_2(B)}\mu_2(B) $
$\leq c\sum\left(\frac{\mu_1(A_n)}{\mu_1(B)}\right)^2 \mu_2(B) $

$\leq c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$\leq c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Nguyên văn bởi Tchoupi

Thế anh kiểm tra thử nhé
.................
$c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $
$= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$\leq c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải

why? :nemoflow:

PS: chú nếu cần anh đưa ra gợi ý hướng giải chứ cái này cho chú tìm thoải mái trong mấy cuốn độ đo kinh điển, chắc không có đâu . Mang bài trong sách ra đố không phải sở thích của anh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tchoupi]

$\leq c\left(\sum c_n\mu_1(A_n)\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$= c \left(\int_B sd\mu_1\right)^2 \frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $

$\leq c\left(\int_B\omega d\mu_1\right)^2\frac{\mu_2(B)}{\mu_1(B)^2} $
$= c \frac{\mu_2(B)^3}{\mu_1(B)^2} \leq $ vế phải

Em nói ở trên rồi mà , nếu có thể thì anh gợi ý hướng giải còn gì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tchoupi]

À, chỗ cuối phải giải thích thêm là c\geq 1 , do điều kiện của chiều thuận
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

không ngờ phần này dễ như vậy, chú cố nốt phần còn lại nhá .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]