Bài tập mở đầu xác suất

[franciscokison]

Bài 1.
Cho trước sôa thực $m,n $ không âm. Tính xác suất để tam thức bậc hai $x^2+2ax+b $ có $2 $ nghiệm thực nếu $a, b $ có thể nhận mọi giá trị trong điều kiện $\left | a \right |\le n, \left | b \right |\le m $ một cách đồng khả năng.
Bài 2.
Có $n $ cặp vợ chồng được mời ở trong một buổi tiệc. Ban tổ chức mời ngẫu nhiễn $2k (4\le 2k\le n) $ vị khách lên sàn để "nhảy",

dĩ nhiên là chồng và vợ nhảy cùng nhau thì vẫn hơn

. Tính xác suất để btc mời được đúng 1 cặp vợ chồng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Bài 3.
Dân số của thành phố nọ là 100,000 người. Thành phố có 3 tờ nhật báo là A,B,C. tỷ lệ người dân đọc các tờ báo trên là như sau: tờ báo A là 10%, tờ báo B là 30%, tờ báo C là 5%, cả hai tờ A và B là 8%, cả hai tờ A và C là 2%, cả hai tờ B C là 4%, cả ba tờ là 1%.

1. Có bao nhiêu người chỉ đọc 1 tờ báo
2. Có bao nhiêu người đọc ít nhất 2 tờ báo
3. Có bao nhiêu người không đọc tờ báo nào cả.

Bài 4
Một người say rượu bước đi 8 bước. Xác suất để người đó tiến lên phía trước 1m và lùi lại phía sau 1m là như nhau. Tính xác suất để sau 8 bước:

1. Anh ta trở lại điểm xuất phát
2. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[timlai_niemtin]

Nguyên văn bởi franciscokison

Bài 3.
Dân số của thành phố nọ là 100,000 người. Thành phố có 3 tờ nhật báo là A,B,C. tỷ lệ người dân đọc các tờ báo trên là như sau: tờ báo A là 10%, tờ báo B là 30%, tờ báo C là 5%, cả hai tờ A và B là 8%, cả hai tờ A và C là 2%, cả hai tờ B C là 4%, cả ba tờ là 1%.

1. Có bao nhiêu người chỉ đọc 1 tờ báo
2. Có bao nhiêu người đọc ít nhất 2 tờ báo
3. Có bao nhiêu người không đọc tờ báo nào cả.

Bài 4
Một người say rượu bước đi 8 bước. Xác suất để người đó tiến lên phía trước 1m và lùi lại phía sau 1m là như nhau. Tính xác suất để sau 8 bước:

1. Anh ta trở lại điểm xuất phát
2. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m.

mình cũng đang học xác suất thống kê. Rất vui khi được trao đổi với bạn .
Bài 3. Dùng biểu đồ ven ta có :
Chỉ nguyên đọc tờ báo A là 1%, chỉ đọc B là 19%, chỉ đọc C là 0%. Vậy đáp số là 20%.
b,Đọc A và B là 8%; B và C là 4%; C và A là 2%. A,B,C là 1%.
đáp số là : 8+4+2 -3 +1 =12% (vì mỗi A và B đều tính cả A và B và C rồi )
c,Không đọc A,B,C 100- 10 - 30 - 5 =55%
Bài 4,
a, anh ta đi về vị trí ban đầu sau 8 bước nghĩa là đi tiến 4 bước và lùi bốn bước.
theo công thức Becnuli, ta có
$Pa= _{8}^{4}\textrm{C}. 0.5^{4}. 0.5^{4} $
b, a là số bước tiến của anh ta, b là sô bước lùi của anh ta.
a+b = 8
số bước tiến được của anh ta là a - b
vì a+b =8 nên a-b phải chẵn.
mà a-b >4. suy ra a-b = 6 hoặc 8
Nếu a+b = 4. suy ra a=6, b =2
$P_{1} = _{8}^{6}\textrm{C} . 0.5^{6} . 0.5^{2} $
Nếu a+b =8. a=8, b =0
$P_{2} = 0.5^{8} $

suy ra P = P1 +P2
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Nhận xét thế này. Bạn làm hơi "ẩu". Ở bài 4, ý 2 chỉ có 1 trường hợp là anh ta tiến lên phía trước 6 bước thôi và áp dụng ct Becnulli ra được kết quả $\binom{8}{6} 0.5^6 \cdot 0.5^4 $

Bài 3.
Gọi biến cố A là người đọc tờ báo A, B là người đọc biến cố B, C là người đọc biến cố C.
a> xác suất cần tính là: P($A+B+C) $
b>$ P(AB+BC+CA)+P(ABC) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Bài 5
Theo thống kê, xác suất để 2 ngày liên tiếp có mưa ở 1 thành phố nọ là 0.5; còn không mưa là 0.3. Biết các sự kiện có 1 ngày mưa và 1 ngày không mưa là như nhau. Tính xác suất để ngày thứ 2 có mưa, biết ngày 1 không có mưa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Nguyên văn bởi franciscokison

Bài 1.
Cho trước sôa thực $m,n $ không âm. Tính xác suất để tam thức bậc hai $x^2+2ax+b $ có $2 $ nghiệm thực nếu $a, b $ có thể nhận mọi giá trị trong điều kiện $a\le\left | n \right |, b\le \left | m \right | $ một cách đồng khả năng.
Bài 2.
Có $n $ cặp vợ chồng được mời ở trong một buổi tiệc. Ban tổ chức mời ngẫu nhiễn $2k (4\le 2k\le n) $ vị khách lên sàn để "nhảy",

dĩ nhiên là chồng và vợ nhảy cùng nhau thì vẫn hơn

. Tính xác suất để btc mời được đúng 1 cặp vợ chồng.

Ku franciscokison xem lại bài 1 đê, có lẽ $|a| \leq n, |b| \leq m $ thì bài toán mới giải được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Đã edit.
Bài 6.
Một thiết bị có ba bộ phận A, B, C. Biết xác suất hỏng của A là 0.04 và nếu A hỏng thì xác suất hỏng của B là 0.5. Ngoài ra, xác suất hỏng của A, B cùng hỏng đồng thời C không hỏng là 0.01.
Tìm xác suất có ít nhất 1 bộ phận hỏng
Nếu biết thêm XS A và C cùng hỏng là 0.03 và B,C cùng hỏng là 0.01. Tìm xác suất gặp ít nhất 2 bộ phận hỏng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[IMO]

Nguyên văn bởi franciscokison

Bài 1.
Cho trước sôa thực $m,n $ không âm. Tính xác suất để tam thức bậc hai $x^2+2ax+b $ có $2 $ nghiệm thực nếu $a, b $ có thể nhận mọi giá trị trong điều kiện $\left | a \right |\le n, \left | b \right |\le m $ một cách đồng khả năng.
Bài 2.
Có $n $ cặp vợ chồng được mời ở trong một buổi tiệc. Ban tổ chức mời ngẫu nhiễn $2k (4\le 2k\le n) $ vị khách lên sàn để "nhảy",

dĩ nhiên là chồng và vợ nhảy cùng nhau thì vẫn hơn

. Tính xác suất để btc mời được đúng 1 cặp vợ chồng.

Bài 1
Cần chuyển về hình học để giải, đưa về diện tích hình chữ nhật x=+-m, y=+-n và parapol: y=x^2

Bài 2
Có n cách chọn ra 1 cặp vợ chồng.
Với mỗi các chọn ra 1 cặp vợ chồng có (2n-2)(2n-4)...(2n-4k+4) cách chọn 2k-2 người còn lại để có 2k người thỏa mãn yêu cầu.
Suy ra số cách chọn 2k người thỏa mãn là:
n(2n-2)(2n-4)...(2n-4k+4)
Mặt khác số cách chọn ra 2k người bất kì từ 2n người là:
$\frac{2n!}{2k!(2n-2k)!} $
Từ 2 kết quả trên suy ra xác suất cần tìm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Bài 2: Có $\binom{n}{1} $ khả năng để chọn ra 1 cặp vợ chồng từ n cặp đó. Với 2n-2 người còn lại, rõ ràng trong số ấy, một đôi vợ chồng hoặc chồng được chọn vợ thì không, hoặc vợ được chọn chông thì không. Như vậy ta coi như đôi vợ chồng ấy là một, và ta có $\binom{n-1}{2k-2} $ khả năng, do mỗi cặp vợ chồng có hai khả năng là chồng hoặc vợ được chọn. Theo quy tắc nhân, ta có tất cả là
$\binom{n}{1}\binom{n-1}{2k-2}2^{k-1} $
khả năng
Vậy xác suất cần tính là:
$\dfrac{\binom{n}{1}\binom{n-1}{2k-2}2^{k-1}}{\binom{2n}{2k}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Bài 7.
Tại một cuộc thi Robocon, các auto robot (Autobot) sẽ lần lượt thực hiện các thao tác gắp bóng và nhả bóng như sau: Có ba rổ bóng, rổ I gồm 3 quả đỏ và 2 quả xanh, rổ II gồm 2 quả đỏ và 2 quả xanh. Các autobot có nhiệm vụ bốc 1 quả từ rổ I và 1 quả của rổ II vào rôt III. Sau đó, autobot lại tiếp tục bốc 1 quả từ rổ III để đưa lên tháp. Biết rằng các sự kiện trên là đồng khả năng.

1. Tính xác suất để quả đưa lên tháp là màu đỏ
2. Biết rằng quả đưa lên tháp là màu đỏ. Tính xác suất để lúc đầu autobot lấy được quả đỏ từ rổ I vào rổ III

Bài 8$\bigstar\bigstar\bigstar $

Trên hệ thống phòng thủ không quân của Việt Nam có hệ thống pháo đại bác xung điện từ có khả năng hạ máy bay tàng hình với tốc độ cao. Tuy nhiên, do thời tiết nên tầm hiệu quả giảm đi ở nhưng phát bắn đầu tiên. Cụ thể, đối với máy bay tiêm kích J-20 của PLA (Khựa): xác suất trúng của pháo điện tử ở 3 phát đầu lần lượt là: 0.4;0.5;0.7. Nếu trúng một phát thì xác suất máy bay rơi là 0.2; nếu trúng 2 phát thì là 0.6; nếu trúng 3 phát thì chắc chắn máy bay bị hạ. Tìm xác suất để máy bay bị ha.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lovemaths_hn]

Nguyên văn bởi franciscokison

Bài 7.
Tại một cuộc thi Robocon, các auto robot (Autobot) sẽ lần lượt thực hiện các thao tác gắp bóng và nhả bóng như sau: Có ba rổ bóng, rổ I gồm 3 quả đỏ và 2 quả xanh, rổ II gồm 2 quả đỏ và 2 quả xanh. Các autobot có nhiệm vụ bốc 1 quả từ rổ I và 1 quả của rổ II vào rôt III. Sau đó, autobot lại tiếp tục bốc 1 quả từ rổ III để đưa lên tháp. Biết rằng các sự kiện trên là đồng khả năng.

1. Tính xác suất để quả đưa lên tháp là màu đỏ
2. Biết rằng quả đưa lên tháp là màu đỏ. Tính xác suất để lúc đầu autobot lấy được quả đỏ từ rổ I vào rổ III

Thử trước ý a) đã.
Gọi H là sự kiện quả bóng lấy ra từ rổ III là đỏ.
Gọi A1 là biến cố quả bóng lấy ra từ rổ I là đỏ.
A2 là biến cố quả bóng lấy ra từ rổ II là đỏ.
Khi đó các biến cố $(A1, A2), (\overline{A1}, \overline{A2}, (\overline{A1}, A2), (A1, \overline{A2})) $ là hệ thống đầy đủ.
Ta tính được $P(A1A2)=\frac 3 5. \frac 2 4 $, $P(\overline{A1} \overline{A2})= \frac 2 5. \frac 2 4 $, $P(A1 \overline{A2})=\frac 3 5. \frac 2 4 $, $P(\overline{A1}A2)= \frac 2 5. \frac 2 4 $
$P(H\mid A1A2)=1; P(H\mid \overline{A1} \overline{A2})=0; P(H\mid \overline{A1}A2)=\frac 1 2; P(H\mid A1\overline{A2})= \frac 1 2 $
Từ đó $P(H)=P(A1A2)P(H\mid A1A2)+P(\overline{A1} \overline{A2})P(H\mid \overline{A1} \overline{A2})+P(\overline{A1}A2)P(H\mid \overline{A1}A2)+P(A1 \overline{A2})P(H\mid A1\overline{A2})=\frac {11} {20} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Nguyên văn bởi lovemaths_hn

Thử trước ý a) đã.
Gọi H là sự kiện quả bóng lấy ra từ rổ III là đỏ.
Gọi A1 là biến cố quả bóng lấy ra từ rổ I là đỏ.
A2 là biến cố quả bóng lấy ra từ rổ II là đỏ.
Khi đó các biến cố $(A1, A2), (\overline{A1}, \overline{A2}, (\overline{A1}, A2), (A1, \overline{A2})) $ là độc lập.
Ta tính được $P(A1A2)=\frac 1 5. \frac 1 4 $, $P(\overline{A1} \overline{A2})= \frac 4 5. \frac 3 4 $, $P(A1 \overline{A2})=\frac 1 5. \frac 3 4 $, $P(\overline{A1}A2)= \frac 4 5. \frac 1 4 $
$P(H\mid A1A2)=1; P(H\mid \overline{A1} \overline{A2})=0; P(H\mid \overline{A1}A2)=\frac 1 2; P(H\mid A1\overline{A2})= \frac 1 2 $
Từ đó $P(H)=P(A1A2)P(H\mid A1A2)+P(\overline{A1} \overline{A2})P(H\mid \overline{A1} \overline{A2})+P(\overline{A1}A2)P(H\mid \overline{A1}A2)+P(A1 \overline{A2})P(H\mid A1\overline{A2})=0.225 $

Hai bài 7 và 8 dùng công thức xs đầy đủ và Bayet:
Bài 7
1>
A: Biến cố lấy một quả đỏ rổ I, và 1 quả đỏ rổ II
B: ____________________I, và 1 quả xanh rổ II
C: _______________xanh rổ I, và 1 quả xanh rổ II
D: _______________xanh rổ I, và 1 quả xanh rổ II
A,B,C,D là nhóm các sự kiện xung khắc đầy đủ
E: Biến cố lấy được quả đỏ từ rổ III

Khi đó, $P(A)=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} $
... ...
$P(E/A)= 1, P(E/B)=\dfrac{1}{2},P(E/C)= \dfrac{1}{2}, P(E/D)=0 $

Rồi áp dụng công thức xác suất đầy đủ, kết quả:
$P(E)=\dfrac{11}{20} $

2>Áp dụng ct Bayet

Cần tính $P(A/E)+P(B/E)=\dfrac{P(A)P(E/A)+P(B)P(E/B)}{P(E)}=\dfrac{9}{11} $

Bài 8 Tương tự
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Bài 9.
Hãng hàng không X thực hiện một cuộc khảo sát cho thấy: Mỗi chuyến bay của hãng thì có 5% vé đã bán ra bị trả lại. Biết chuyến bay của hãng với máy bay trung bình chứa được tối đa 50 người. X quyết định bán 52 vé cho mỗi chuyến bay. Tỷ lệ bán được 51 và 52 vé là như nhau và bằng 10%. Tính xác suất để mọi hành khách đi trên chuyến bay đó đều có ghế.

____________________
Bài toán thực tế: Mỗi chuyến bay có thể chứa 150 hành khách, cùng với xác suất vé bị trả lại là 5%. Bạn hãy hoạch định kế hoạch bán vé như thế nào (thêm-bớt) của công ty theo hướng bán thêm(bớt) vé và giảm thiểu tối đa đến 1% khả năng xảy ra trường hợp có một hành khách trên chuyến đó không có ghế (hãng phải bồi thường và chuyển hành khách đó sang chuyến bay khác)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[gakon001]

Mình nghĩ bạn làm sai rồi.
Bước lên 3 bước, lùi 1 bước, tiến 1 bước, lùi 3 bước = 8 bước. cũng có trường hợp này vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Nguyên văn bởi gakon001

Mình nghĩ bạn làm sai rồi.
Bước lên 3 bước, lùi 1 bước, tiến 1 bước, lùi 3 bước = 8 bước. cũng có trường hợp này vậy

Ý a> thì hiển nhiên là tiến 4 lùi 4, còn ý b> chỉ có duy nhất là tiến 6 lùi 2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]