Topic về bất đẳng thức

[novae]

Bài 1:
đặt $a=4+m, b=5+n, c=6+p $ $(m, n, p\ge 0) $
ta có $a^2+b^2+c^2=90\Rightarrow m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p=13 $
$(m+n+p)^2+12(m+n+p)=m^2+n^2+p^2+8m+10m+12p+2(mn+np +pm+2m+n)\ge m^2+n^2+p^2+8m+10m+12p=13 $
$\Rightarrow m+n+p\ge 1 \Rightarrow a+b+c\ge 16 $
đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow m=n=0, p=1 $ hay $a=4,b=5,c=7 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Cho : x;y;z thá»±c
$xy + yz + 3zx = 1 $
Tìm min:
$x^2 + y^2 + z^2 $

Dấu bằng tại
$x=z=ty $
Xét $a>0 $
$a(x^2+z^2)\ge 2axz $
$x^2+t^2y^2\ge 2txy $
$z^2+t^2y^2\ge 2tzy $
$(a+1)(x^2+z^2)+2t^2y^2\ge 2t(xy+yz)+2axz $
$a+1=2t^2\text{\&}\frac{a}{t}=3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truytimmattroi]

Mình thấy bài của bạn NHTRANG đúng rồi mà. Khi 3$n^2 $-2 là số chính phương thì nó sẽ bằng $[n\sqrt3]^2 $
Cám ơn các bạn đã giúp đỡ.Mong được chỉ giáo thêm!
1/Cho a,b.c>0 ;a+b+c=3. Cmr
$\frac{a}{a+b+1} $+$\frac{b}{b+c+1} $+$\frac{c}{a+c+1} $ $\le $1
2/Cho -1$\le $x,y,z,t$\le $1; x+y+z+t=0.Cmr
$\sum $$\sqrt{1+x+y^2} $ $\ge $4
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[353535]

Mình thấy bài của bạn NHTRANG đúng rồi mà. Khi 3$n^2 $-2 là số chính phương thì nó sẽ bằng $[n\sqrt3]^2 $
Cám ơn các bạn đã giúp đỡ.Mong được chỉ giáo thêm!
1/Cho a,b.c>0 ;a+b+c=3. Cmr
$\frac{a}{a+b+1} $+$\frac{b}{b+c+1} $+$\frac{c}{a+c+1} $ $\le $1

<=>$\sum\frac{a}{4-c} \le 1 $
<=> $a^2b+b^2c+c^2a \le 4 $
đến đây thì dễ rồi
------------------------------

2/Cho -1$\le $x,y,z,t$\le $1; x+y+z+t=0.Cmr
$\sum $$\sqrt{1+x+y^2} $ $\ge $4

Có thể sử dụng MINCOPSKI

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truytimmattroi]

Bạn làm cụ thể được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[353535]

Bạn làm cụ thể được không?

CM:$a^2b+b^2c+c^2a +abc \le 4 $
giả sừ a nằm giữa b và c
=>$a^2b+b^2c \le abc+ab^2 $
=>$a^2b+b^2c+c^2a +abc \le ab^2+ac^2 +2abc=a(b+c)^2 $
mà a+b+c=3 => $a(b+c)^2 \le 4 $
=>Ä‘pcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truytimmattroi]

Bạn giúp mình bài 2 với. Dùng bdt Mincopski như thế nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[yeutoanhoc207]

Ta có:
$\frac{3+\sqrt{17}}{2}y(x+z)\leq \frac{13+3\sqrt{17}}{4}y^{2}+\frac{(x+z)^{2}}{2} \leq\frac{13+3\sqrt{17}}{4}y^{2}+x^{2}+z^{2} $

$\frac{9+3\sqrt{17}}{2}xz\leq \frac{9+3\sqrt{17}}{4}(x^2+z^2) $

$\Rightarrow\frac{13+3\sqrt{17}}{4} y^{2}+\frac{(x+z)^{2}}{2} \geq \frac{3+\sqrt{17}}{2} y(x+z)+\frac{9+3\sqrt{17}}{2}xz=\frac{3+\sqrt{17}} {2} $

$\Rightarrow x^2 +y^2+z^2 \geq\frac{6+2\sqrt{17}}{13+3\sqrt{17}} $

Dấu = có được KVCK $\begin{Bmatrix} \frac{3+\sqrt{17}}{2}y=x+z \\ x=z \\ xy+yz+3xz=1 \end{matrix} $


đề nghị bạn [Only registered and activated users can see links. ] cẩn thận, không nên kẹp thẻ TEX vào trong thẻ TEX khác, dẫn đến không hiển thị được công thức, chỉ cần một cặp thẻ TEX là đủ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[penny_263]

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1
chứng minh:
$\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+ \frac{c^7+a^7}{c^5+a^5} \geq\frac{1}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Chú ý: $a^{7}+b^{7} = (a^{2}+b^{2})(a^{5}+b^{5})-a^{2}b^{2}(a^{3}+b^{3}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Chú ý: $a^{7}+b^{7} = (a^{2}+b^{2})(a^{5}+b^{5})-a^{2}b^{2}(a^{3}+b^{3}) $

Hihi! Sao em không phân tích như vầy nè:
$2(a^7+b^7)=(a^2+b^2).(a^5+b^5)+[(a^7+b^7)-(a^5b^2+a^2b^5)]=\\=(a^2+b^2)(a^5+b^5)+(a-b)^2.(a+b).(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) $.
Đến đây ra ngay:
$\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5} \ge \frac{a^2+b^2}{2} $.
Bài toán đã cho trở nên quen thuộc!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[h.vuong_pdl]

Chú ý: cần Cm:
$\frac{(a+b+c)^3}{abc} \ge 18(\sum{\frac{bc}{a^2+bc}}) $
hay $\frac{(a+b+c)^3}{abc} + 18(\sum{\frac{a^2}{a^2+bc}}) \ge 54 $
Lại chú ý theo BDT Cauchy-Schwarz:
$\sum{\frac{a^2}{a^2+bc}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} $
Áp dụng Côsi ta có: $\frac{(a+b+c)^3}{abc} + 18.\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \ge 2\sqrt{\frac{18(a+b+c)^5}{abc(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca )}} $
Lại chú ý BDt quen thuộc: $27abc(a^2+b^2+c^2) \le (a+b+c)^5 $ và $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2 $
Vậy ta có ngay đpcm ??????????????????/
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[h.vuong_pdl]

Thì cứ nói dùng Chebyshep luôn đi cho khỏe mấy bạn ah ????//

$(a_1 + a_2)(b_1+b_2) \le 2(a_1b_1+a_2b_2) $ với $a_1, a_2 $ và $b_1, b_2 $ là các dãy đơn điệu cùng chiều

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Ta có:
$\frac{3+\sqrt{17}}{2}y(x+z)\leq \frac{13+3\sqrt{17}}{4}y^{2}+\frac{(x+z)^{2}}{2} \leq\frac{13+3\sqrt{17}}{4}y^{2}+x^{2}+z^{2} $

Số $\frac{3+\sqrt{17}}{2} $ ở đâu ra vậy ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kthptdc4]

$y=\frac{{{\left( \operatorname{t}\text{a}{{\text{n}}^{2010}}\text{x }-{{\cot }^{2010}}x \right)}^{2}}+{{2}^{2010}}}{{{\left( \operatorname{t}\text{a}{{\text{n}}^{2}}\text{x}+{ {\cot }^{2}}x \right)}^{2011}}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]