thắc mắc nhỏ về tập compact

4232 · 22-03-2009, 09:49 AM

Em không biết mệnh đề dưới có đúng không:
Cho $(E,d) $ và $(F,d') $ là hai không gian metric, D chứa trong E và D compact thì f(D) là tập compact.
Sau đây là chứng minh của em
Cho $\{G_i\}_{i \in I} $ là một phủ mở của f(D). Khi đó $\{f^{-1}(G_i)\}_{i \in I} $ là phủ mở của D. Do D compact nên tồn tại phủ con hữu hạn của D là $\{f^{-1}(G_i)\}_{i \in J},J \subset I $, J hữu hạn. Ta cũng có $\{G_i\}_{i \in J} $ là phủ hữu hạn của f(D). Vậy f(D) là tập compact.
Trong sách thì còn có thêm điều kiện là f liên tục trên D thi f(D) mới compact.

99 · 22-03-2009, 09:53 AM

Không có điều kiện liên tục thì ảnh ngược $f^{-1}(G) $ chưa chắc là tập mở.

22-03-2009, 09:49 AM	#1
4232 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 52 Thanks: 10 Thanked 4 Times in 4 Posts	thắc mắc nhỏ về tập compact Em không biết mệnh đề dưới có đúng không: Cho $(E,d) $ và $(F,d') $ là hai không gian metric, D chứa trong E và D compact thì f(D) là tập compact. Sau đây là chứng minh của em Cho $\{G_i\}_{i \in I} $ là một phủ mở của f(D). Khi đó $\{f^{-1}(G_i)\}_{i \in I} $ là phủ mở của D. Do D compact nên tồn tại phủ con hữu hạn của D là $\{f^{-1}(G_i)\}_{i \in J},J \subset I $, J hữu hạn. Ta cũng có $\{G_i\}_{i \in J} $ là phủ hữu hạn của f(D). Vậy f(D) là tập compact. Trong sách thì còn có thêm điều kiện là f liên tục trên D thi f(D) mới compact.

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

22-03-2009, 09:53 AM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Không có điều kiện liên tục thì ảnh ngược $f^{-1}(G) $ chưa chắc là tập mở.