limit help!

[99]

Nguyên văn bởi PDatK40SP

$(1+x)^k = \sum\limit_{i=0}^{\infty} { k \choose i} x^i $ với ${ k \choose i} = \frac{k(k-1)...(k-i+1)}{i!} , i \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{R} $

Bạn có thể viết thêm điều kiện của x được chứ ? Viết thế này thì mọi người sẽ hiểu là mọi x . Mà mọi x thì đương nhiên sai.

Giả sử công thức Newton trên đúng với một vài điều kiện nào đó của x thì vẫn phải thử các điều kiện để chuỗi hội tụ, kể cũng không đơn giản nhỉ . Mấy bài toán trên giải bằng cách dùng định lý Lagrange , hướng nghĩ ban đầu thì giống CTSP

Tồn tại $a<c<b $ để $f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ (f là hàm khả vi ). Khi $a,b $gần nhau thì ta có thể xấp xỉ được $f'(c) $ theo $f'(a),f'(b) $. Tư tưởng cách giải chỉ đơn giản vậy thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[langtuthanhdon]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Hai thày trò cái nhà ông H này. Đây là forum mà? Việc trong môn phái lần sau kéo về nhà giải quyết nhá!

Còn bài đó chú kia hỏi thì tớ cứ trả lời thoai. Đầu tiên thấy là $u_n\to +\infty $. Bây giờ ta có
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{u_n}}{n}= $
$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}}{n+1-n} $
$
=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}} $

$=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{u_n+1}{2}}}{f( u_n)+\sqrt{u_n}} $

Giờ thì đơn giản rồi. À, nếu nó hỏi là tìm a để $u_n/n^a $ tiến tới hữu hạn khác 0 thì làm sao nhỉ?

Em xin nêu ra phương hướng giải bài này và từ đó ta có cách làm tổng quát với dạng này! Trước hết ta chú ý rằng $\lim_{n\to\infty}u_n=+\infty,\lim_{n\to\infty}\fra c{u_{n+1}}{u_n}=1 $
Vậy $\lim_{n\to\infty}\frac{(u_{n+1}/u_n)^\alpha-1}{u_{n+1}/u_n}=\alpha $
Vậy bài toán qui về tìm $\alpha $ để $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n^{1-\alpha}}\neq 0 $
Hoàn toàn có thể tổng quát cho hàm f khả vi tại 1.(ở trên là $f(x)=x^\alpha $)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Post của 99 thì kiểu như: Ta có thể chứng minh bài toán này bằng định lý Pitago, mọi việc thật đơn giản. Còn post của Trọng thì bị lỗi Tex thì phải.

Cả hai bạn nên minh họa bằng một ví dụ nào đấy trong đó có chỉ cách tìm a cụ thể.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[langtuthanhdon]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Post của 99 thì kiểu như: Ta có thể chứng minh bài toán này bằng định lý Pitago, mọi việc thật đơn giản. Còn post của Trọng thì bị lỗi Tex thì phải.

Cả hai bạn nên minh họa bằng một ví dụ nào đấy trong đó có chỉ cách tìm a cụ thể.

Để em viết lại cho dễ hiểu:Cho $(u_n) $ thỏa mãn $u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+u_n/2} $
tìm $a $ sao cho $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n^a}{n}\neq 0 $

Giải: Để tìm a thỏa mãn, ta sẽ tìm $a $ thỏa mãn
$\lim_{n\to\infty}(u_{n+1}^a-u_n^a)\neq 0 $
Ta thấy ngay rằng $\lim_{n\to\infty}u_n=\infty $ nên
$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1 $
Do hàm $f(x)=x^a $ kả vi tại 1 nên
$\lim_{n\to\infty} \frac{(u_{n+1}/u_n)^a-1}{(u_{n+1}/u_n)-1}=a $
Hay là
$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}^a-u_n^a}{(u_{n+1}-u_n)/u_n^{1-a}}=a $
Vấn đề tiếp theo là tìm $a $ để
$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}-u_n}{u_n^{1-a}}\neq 0 $
Mặt khác, $\lim_{n\to\infty} u_n=\infty $ và
$\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n^{1-a}}=\frac{ \sqrt{1+u_n/2}}{u_n^{1-a}} $
Vậy a=1/2
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

@n.t.tuan: em cũng đợi phản hồi mà. Có thấy ai trả lời nghiêm chỉnh đâu ?

Giải bài đầu tiên, bài em mô đi phê đi thì là tương tự khi làm theo cách của em.
Nhưng mà yêu cầu sẽ là tìm a để có $\lim_{n\to\infty}x_n^a/n \neq 0 $ hữu hạn . Nhận xét là nếu a tồn tại thì a là duy nhất.
Ta tìm a để
$ x_{n+1}^{a}-x_n^a =(x_{n+1}-x_n)a v_n^{a-1} $ có giới hạn hữu hạn khác 0 (Ở đây $ x_n<v_n<x_{n+1} $)

$ax_n^{1/2+a-1}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_n^{\frac{1}{2}}}\frac{v_n^{a-1}}{x_n^{a-1}} $
có giới hạn hữu hạn khác không . (1)

Để ý là do $\lim_{n\to\infty}x_n =\infty $ và dãy là tăng nên $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{x_{n+1}}=1 $

Vậy nên để (1) hội tụ khác không thì $x_n^{1/2+a-1} $ hội tụ khác không. Do đó $1/2+a-1 =0 $ , suy ra $a= \frac{1}{2} $

Với bài Toán em mô đi phê thì làm tương tự vì nó vẫn có 3 giải thiết sau

$(i) x_n\to\infty $
$(ii)x_n $ đơn điệu
$(iii)\frac{x_n}{x_{n+1}}\to 1 $

Từ đây có thể tổng quát hóa bài toán lên cho dãy $x_{n+1}=x_n +x_n^{\alpha} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]