Bất đẳng thức luyện tư duy

[toanlc_gift]

cho $a,b,c $
chứng minh rằng:
$\frac{{ab + bc + ca}}{{a + b + c}} + \frac{{8{{(a + b + c)}^3}}}{{81abc(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{4}{3} $
p/s: lời giải chỉ cần 1 dòng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguchuyentin]

Mình có cách giải như sau, các bạn tham khảo:
áp dụng cosi cho mẫu ta có:
(ab+ac).(bc+ba).(ca+cb)<= (2(ab+bc+ca)/3)^3
do đó bdt cần cm <=>
3.((ab+bc+ca)/3(a+b+c)) +(a+b+c)^3/3(ab+bc+ca)^3 >= 4/3
sử dụng bdt cosi trực tiếp ta có đpcm.
Do lần đầu giải bài nên mình chưa biết cách đánh công thức, các bạn thông cảm nha.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leedt26]

Đây , bạn dùng mathtype 6 rồi xài thẻ [TEX] í

Nguyên văn bởi nguchuyentin

Mình có cách giải như sau, các bạn tham khảo:
áp dụng cosi cho mẫu ta có:
$(ab+ac).(bc+ba).(ca+cb)\le {\left( {\frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{3}} \right)^3} $
do đó bdt cần cm
<=>
$3.\frac{ab+bc+ca}{3(a+b+c)} +\frac{(a+b+c)^3}{3(ab+bc+ca)^3}\ge\frac{4}{3} $
sử dụng bdt cosi trực tiếp ta có đpcm.
Do lần đầu giải bài nên mình chưa biết cách đánh công thức, các bạn thông cảm nha.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Nguyên văn bởi nguchuyentin

Mình có cách giải như sau, các bạn tham khảo:
áp dụng cosi cho mẫu ta có:
(ab+ac).(bc+ba).(ca+cb)<= (2(ab+bc+ca)/3)^3
do đó bdt cần cm <=>
3.((ab+bc+ca)/3(a+b+c)) +(a+b+c)^3/3(ab+bc+ca)^3 >= 4/3
sử dụng bdt cosi trực tiếp ta có đpcm.
Do lần đầu giải bài nên mình chưa biết cách đánh công thức, các bạn thông cảm nha.

cách của bạn chưa phải là nhanh nhất đâu ^^!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leedt26]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

cho $a,b,c $
chứng minh rằng:
$\frac{{ab + bc + ca}}{{a + b + c}} + \frac{{8{{(a + b + c)}^3}}}{{81abc(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{4}{3} $
p/s: lời giải chỉ cần 1 dòng

Đây chắc là lời giải nhanh nhất nhỉ ?
BĐT ban đầu viết thành
$\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{a + b + c}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{a + b + c}} + \frac{{c(a + b)}}{{a + b + c}} + \frac{{16{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{81abc(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{8}{3} $
Cô si cho 4 số xử gọn.DONE!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

tiếp bài nữa:
cho $a,b,c>0 $;$abc=1 $
chứng minh rằng:
$({a^2} + {b^2})({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2}) \ge ({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1) $
p/s:không được khai triển với mọi hình thức ^^!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mikepiano97]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

tiếp bài nữa:
cho $a,b,c>0 $;$abc=1 $
chứng minh rằng:
$({a^2} + {b^2})({b^2} + {c^2})({c^2} + {a^2}) \ge ({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1) $
p/s:không được khai triển với mọi hình thức ^^!

Ta có:
$(a^2+b^2)(a^2+\frac{1}{b^2})\geq (a^2+1)^2 $
Lại có: $\prod \frac{(a^2+1)b^2}{a^2b^2+1}=1 $

Ta có bất đẳng thức được chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

tiếp tục:
cho $a,b,c \ge 0 $ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 4 $
chứng minh rằng:
$(2 - (a + b + c))\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \le 3abc(ab + bc + ca) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Uy_Vũ]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

tiếp tục:
cho $a,b,c \ge 0 $ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 4 $
chứng minh rằng:
$(2 - (a + b + c))\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \le 3abc(ab + bc + ca) $

Kiểu này cũ rồi ông anh à
Vì:$(a+b+c) \ge 2 $
Nên:$VT \le 0 \le VP $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

thêm bài nữa,lời giải cũng chỉ 1 dòng ^^!
$a,b,c \ge 0 $
chứng minh rằng:
${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge \frac{{{{\left[ {(a - b)(b - c)(c - a)} \right]}^2}}}{{2{{(a + b + c)}^4}}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyen__]

$a,b,c $dương. Chứng Minh

$\sum \frac{a^4}{b^3+c^3} \ge \frac{a+b+c}{2} $

Em làm như sau

$\Longrightarrow $ $\sum [a(\frac{a^3}{b^3+c^3}-\frac{1}{2})] \ge 0 $

$\Longrightarrow $$\sum a[\frac{a^3-c^3+a^3-b^3}{2(b^3+c^3)}] \ge 0 $

hay

$\sum [a\frac{(a-b)(a^2-ab+b^2)-(c-a)(c^2-ac+a^2)}{2(b^3+c^3)}] $

$=\sum (a-b)^2(a^2-ab-b^2)(\frac{1}{b^3+c^3}-\frac{1}{a^3+c^3}) \ge 0 $

Em định làm $= $ SOS nhưng

Đến đây em ko biết làm thế nào nữa ai giúp em

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cvppro]

may ban co proof from the book khong cho minh voi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huyetdao_tama]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

thêm bài nữa,lời giải cũng chỉ 1 dòng ^^!
$a,b,c \ge 0 $
chứng minh rằng:
${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge \frac{{{{\left[ {(a - b)(b - c)(c - a)} \right]}^2}}}{{2{{(a + b + c)}^4}}} $(1)

Bài toán rất thú vị.Cách giải này không biết đã ngắn nhất chưa ?

Ta có:$[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].(a+b+c)^4= \frac{1}{4}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^2 $
Mà
$\frac{1}{4}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].[(a+c)^2+(b+a)^2+(b+c)^2]^2\geq \frac{1}{4}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2.[(a+c)^2+(b+a)^2+(b+c)^2] $
Và
$[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2.[(a+c)^2+(b+a)^2+(b+c)^2]\geq [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)]^3\geq [(a-b)(b-c)(c-a)]^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Nguyên văn bởi huyetdao_tama

Bài toán rất thú vị.Cách giải này không biết đã ngắn nhất chưa ?

Ta có:$[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].(a+b+c)^4= \frac{1}{4}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^2 $
Mà
$\frac{1}{4}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].[(a+c)^2+(b+a)^2+(b+c)^2]^2\geq \frac{1}{4}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2.[(a+c)^2+(b+a)^2+(b+c)^2] $
Và
$[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2.[(a+c)^2+(b+a)^2+(b+c)^2]\geq [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)]^3\geq [(a-b)(b-c)(c-a)]^2 $

lời giải 1 dòng đó đây:
$VT = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^4}{{(b - c)}^2}}}{{{a^4}}} + \frac{{{b^4}{{(c - a)}^2}}}{{{b^4}}} + \frac{{{c^4}{{(a - b)}^2}}}{{{c^4}}}} \right) \ge \frac{{{{({a^2}(b - c) + {b^2}(c - a) + {c^2}(a - b))}^2}}}{{2({a^4} + {b^4} + {c^4})}} = \frac{{{{\left[ {(a - b)(b - c)(c - a)} \right]}^2}}}{{2({a^4} + {b^4} + {c^4})}} \ge VP $
^^!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duonganh]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

lời giải 1 dòng đó đây:
$VT = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^4}{{(b - c)}^2}}}{{{a^4}}} + \frac{{{b^4}{{(c - a)}^2}}}{{{b^4}}} + \frac{{{c^4}{{(a - b)}^2}}}{{{c^4}}}} \right) \ge \frac{{{{({a^2}(b - c) + {b^2}(c - a) + {c^2}(a - b))}^2}}}{{2({a^4} + {b^4} + {c^4})}} = \frac{{{{\left[ {(a - b)(b - c)(c - a)} \right]}^2}}}{{2({a^4} + {b^4} + {c^4})}} \ge VP $
^^!

giai thich cho minh dau >=
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]