|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
27-02-2018, 01:02 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2009 Bài gởi: 1 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts | Tổng các lũy thừa theo mod p Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\] |
28-02-2018, 05:32 AM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
Như vậy, tập $\left\{1^{k};\,2^{k};\,\ldots ;\,(p-1)^{k}\right\}$ được phân hoạch thành $d$ tập con, mỗi tập con đó xét trên $\mathbb Z_p$ lại chính là tập nghiệm của phương trình $x^q=1$ trên $\mathbb Z_p$. Tổng các phần tử ở mỗi tập con đó, như đã nói ở trên là bằng 0 trên $\mathbb Z_p$, cho nên\[1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\] | |
13-03-2018, 06:51 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 6 Thanks: 6 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
Giả sử $g$ là căn nguyên thủy mod $p$, ta có $\left(1,\,g,\,\ldots ,\,g^{p-2}\right)$ là một hệ thặng dư thu gọn mod $p$ nên\[\begin{array}{l} {1^k} + {2^k} + ... + {(p - 1)^k} &\equiv 1 + {g^k} + \ldots + {g^{k\left( {p - 2} \right)}}\pmod p\\ &\equiv \dfrac{{{g^{k\left( {p - 1} \right)}} - 1}}{{{g^k} - 1}}\pmod p . \end{array}\] Bây giờ để ý là $p\mid {{g^{k\left( {p - 1} \right)}} - 1}$ còn $\gcd\left({g^{k} - 1},\,p\right)=1$ (do $\text{ord}_p(g)=p-1>k$) nên ta có điều phải chứng minh. | |
Bookmarks |
|
|