|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
08-11-2017, 01:37 PM | #1 |
Administrator | Tiếp tục về bài PTH trong đề Thanh Hóa Trước hết, mọi người có thể xem bài 20 giải tại #62 của mục sau: http://mathscope.org/showthread.php?t=51387&page=5 Bài toán là một ứng dụng khá điển hình của việc dùng số mũ đúng vp, đặc biệt là theo kiểu đánh giá, so sánh liên tục các số mũ đúng để có đẳng thức thích hợp. Dưới đây xin giới thiệu với mọi người một bài tương tự như thế. Bài toán lấy từ đề chọn đội tuyển của PTNK 2014. Tìm tất cả các hàm số $f:{{\mathbb{Z}}^{+}}\to {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thỏa mãn $$f\left( \frac{f(n)}{n} \right)={{n}^{2}} \text{ với mọi } n \text{ nguyên dương.} $$ Lời giải. Xét $n$ nguyên dương lớn hơn $1$ và đặt $a={{v}_{p}}(n),b={{v}_{p}}\left( f(n) \right)$ với số nguyên tố $p|a$. Theo giả thiết thì $n|f(n)$ nên $b\ge a$. Thay $n\to \frac{f(n)}{n}$ trong điều kiện $n|f(n)$, ta có \[\left. \frac{f(n)}{n} \right|{{n}^{2}}\] hay $b\le 3a.$ Suy ra $1\le \frac{b}{a}\le 3$. Lại tiếp tục thay $n\to \frac{f(n)}{n}$ như thế hai lần nữa, ta có $$\frac{5}{3}\le \frac{b}{a}\le \frac{11}{5}.$$ Như thế, ta thấy rằng tỷ số $\frac{b}{a}$ dần dần được thu hẹp lại xung quanh số 2. Tổng quát quy luật trên, bằng quy nạp, ta thấy rằng $$\frac{{{u}_{2k+1}}}{{{u}_{2k}}}\le \frac{b}{a}\le \frac{{{u}_{2k+2}}}{{{u}_{2k+1}}}$$ trong đó $$\left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}={{u}_{2}}=1, \\ & {{u}_{k+2}}={{u}_{k+1}}+2{{u}_{k}} \\ \end{aligned} \right.$$ Chú ý rằng dãy số này có công thức tổng quát là ${{u}_{k}}=\frac{{{2}^{k}}-{{(-1)}^{k}}}{3}$. Từ đó dễ thấy rằng $$\lim \frac{{{u}_{2k+1}}}{{{u}_{2k}}}=\lim \frac{{{u}_{2k+2}}}{{{u}_{2k+1}}}=2$$ và vì thế $\frac{b}{a}=2$ với mọi $n>1.$ Điều này chứng tỏ $f(n)={{n}^{2}}$ với $n>1.$ Xét $n=1$ thì ta có $f(f(1))=1$. Nếu $f(1)=a>1$ thì $f(f(1))={{a}^{2}}>1$, không thỏa. Vì thế nên $f(1)=1.$ Thử lại ta thấy thỏa. Vậy tất cả hàm số cần tìm là $f(n)={{n}^{2}}$ với mọi $n.$ __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | MATHSCOPE (08-11-2017) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|