Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 08-11-2017, 01:37 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Tiếp tục về bài PTH trong đề Thanh Hóa

Trước hết, mọi người có thể xem bài 20 giải tại #62 của mục sau:

http://mathscope.org/showthread.php?t=51387&page=5

Bài toán là một ứng dụng khá điển hình của việc dùng số mũ đúng vp, đặc biệt là theo kiểu đánh giá, so sánh liên tục các số mũ đúng để có đẳng thức thích hợp. Dưới đây xin giới thiệu với mọi người một bài tương tự như thế. Bài toán lấy từ đề chọn đội tuyển của PTNK 2014.

Tìm tất cả các hàm số $f:{{\mathbb{Z}}^{+}}\to {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thỏa mãn
$$f\left( \frac{f(n)}{n} \right)={{n}^{2}} \text{ với mọi } n \text{ nguyên dương.} $$
Lời giải.
Xét $n$ nguyên dương lớn hơn $1$ và đặt $a={{v}_{p}}(n),b={{v}_{p}}\left( f(n) \right)$ với số nguyên tố $p|a$.

Theo giả thiết thì $n|f(n)$ nên $b\ge a$. Thay $n\to \frac{f(n)}{n}$ trong điều kiện $n|f(n)$, ta có \[\left. \frac{f(n)}{n} \right|{{n}^{2}}\] hay $b\le 3a.$ Suy ra $1\le \frac{b}{a}\le 3$.

Lại tiếp tục thay $n\to \frac{f(n)}{n}$ như thế hai lần nữa, ta có
$$\frac{5}{3}\le \frac{b}{a}\le \frac{11}{5}.$$

Như thế, ta thấy rằng tỷ số $\frac{b}{a}$ dần dần được thu hẹp lại xung quanh số 2.

Tổng quát quy luật trên, bằng quy nạp, ta thấy rằng
$$\frac{{{u}_{2k+1}}}{{{u}_{2k}}}\le \frac{b}{a}\le \frac{{{u}_{2k+2}}}{{{u}_{2k+1}}}$$ trong đó $$\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}={{u}_{2}}=1, \\
& {{u}_{k+2}}={{u}_{k+1}}+2{{u}_{k}} \\
\end{aligned} \right.$$
Chú ý rằng dãy số này có công thức tổng quát là ${{u}_{k}}=\frac{{{2}^{k}}-{{(-1)}^{k}}}{3}$. Từ đó dễ thấy rằng
$$\lim \frac{{{u}_{2k+1}}}{{{u}_{2k}}}=\lim \frac{{{u}_{2k+2}}}{{{u}_{2k+1}}}=2$$ và vì thế $\frac{b}{a}=2$ với mọi $n>1.$ Điều này chứng tỏ $f(n)={{n}^{2}}$ với $n>1.$

Xét $n=1$ thì ta có $f(f(1))=1$. Nếu $f(1)=a>1$ thì $f(f(1))={{a}^{2}}>1$, không thỏa. Vì thế nên $f(1)=1.$ Thử lại ta thấy thỏa.

Vậy tất cả hàm số cần tìm là $f(n)={{n}^{2}}$ với mọi $n.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
MATHSCOPE (08-11-2017)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:53 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 40.16 k/43.08 k (6.77%)]