Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Chọn Đội Tuyển Trường

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-09-2018, 08:45 PM   #1
Nguyễn Vũ Song Hà
Moderator
 
Nguyễn Vũ Song Hà's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2018
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Đề chọn đội tuyển chuyên sư phạm Hà Nội 2018-2019

1. Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\right\}$ là một hoán vị của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$, (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng$$\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.$$
2. Cho các số nguyên $m,\,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^2-x$ với $x=1,\,2,\,\ldots n$ không có hai số nào cùng số dư khi chia $m$. Chứng minh rằng:
  1. $m\ge 2n-1$,
  2. $m=2n-1$ thì $m$ là số nguyên tố lẻ.

3. Với mỗi số nguyên $n>1$ ta gọi một hoán vị $\left\{a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n\right\}$ của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$,(tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu \[\left| {{a_1} - 1} \right| = \left| {{a_2} - 2} \right| = \ldots = \left| {{a_n} - n} \right| \ne 0.\] Chứng minh rằng
  1. Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.
  2. Nếu $n$ chẵn thì số các hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\dfrac{n}{2}$.

4. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ $P,\,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,\,OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RP$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX} = \widehat{YAC}$.

5. Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$, với $a,\,b\in\mathbb{R}$. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_0$ sao cho $f(f(x_0))=0$. Chúng minh rằng $a,\,b$ là các số không âm.

6. Cho ba số dương $a_1,\,b_1,\,c_1$ thỏa mãn $a_1+b_1+c_1=1$ và các dãy số $\left( {{a_n}} \right),{\mkern 1mu} \left( {{b_n}} \right),{\mkern 1mu} \left( {{c_n}} \right)$, thỏa mãn \[{a_{n + 1}} = {a_n}^2 + 2{b_n}{c_n},\,\quad\quad {b_{n + 1}} = {b_n}^2 + 2{a_n}{c_n},\,\quad\quad {c_{n + 1}} = {c_n}^2 + 2{a_n}{c_n},\;\ \forall n\in\mathbb{N^*}.\] Xét dãy $x_n$ xác định bởi \[{x_n} = {a_n}^2 + {b_n}^2 + {c_n}^2, \forall n\in\mathbb{N^*}.\] Chứng minh
  1. ${x_{n + 1}} = \dfrac{{2{x_n}^2 + {{\left( {{x_n} - 1} \right)}^2}}}{2}$,
  2. $\left( {{x_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $ hãy tìm giới hạn đó.
7. Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,\,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số khác là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,\,b$ hỏi ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Vì sao?

8. Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M,\,N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $BI$ và $CI$ và đường tròn $O$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$, đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.
  1. Chứng minh rằng tứ giác $EFBQ$ nội tiếp một đường tròn.
  2. Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFBQ$ nằm trên $\Delta$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Nguyễn Vũ Song Hà, 12-09-2018 lúc 09:18 PM
Nguyễn Vũ Song Hà is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:51 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.82 k/45.16 k (7.40%)]